Minimalpolynom über Q (1) [KAB]

20.05.2011, 19:47

tigerbine

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Minimalpolynom über Q (1) [KAB]

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} r=\sqrt{3}+\sqrt{5} \end{eqnarray*}$ .

(a) Bestimme das Minimalpolynom f von r über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r=\sqrt{3}+\sqrt{5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r^2=3+2\sqrt{15}+5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r^2-8=2\sqrt{15} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r^4-16r^2+64=60 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r^4-16r^2+4=0 \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} f=x^4-16x^2+4 \end{eqnarray*}$ .

Soweit richtig? Das müsste dann so zerfallen über einem entsprechenden Körper:

$\begin{eqnarray*} f=(x+\sqrt{3}+\sqrt{5})(x-\sqrt{3}-\sqrt{5})(x+\sqrt{3}-\sqrt{5})(x-\sqrt{3}+\sqrt{5}) \end{eqnarray*}$

Ist das nun eine endliche Galoiserweiterung? separabel ja, da nur einfache Nullstellen im Zerfällungskörper. Aber ist Q(r) schon der Zerfällungskörper? Wie zeigt man, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{3}-\sqrt{5} \end{eqnarray*}$ drin liegt?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}(\sqrt{3}+\sqrt{5})^3-3(\sqrt{3}+\sqrt{5})=\sqrt{5} \end{eqnarray*}$

Somit ist die Körpererweiterung galoissch.
Und somit dann

$\begin{eqnarray*} \sqrt{3}+\sqrt{5}- (\sqrt{3}+\sqrt{5})^3+6(\sqrt{3}+\sqrt{5}) = \sqrt{3}-\sqrt{5} \end{eqnarray*}$

20.05.2011, 21:14

leithian

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Ja, alles richtig.

20.05.2011, 21:15

tigerbine

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Hi,

hatte da eben noch was reineditiert. Schaust drüber?

20.05.2011, 21:24

leithian

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Jo ist auch richtig, wobei ich allg. gegen Rechnen bin :O.
Das Kompositum zweier (endlicher) Galoiserweiterungen ist wieder Galois.

Aus Gradgründen ist dann Q(sqrt(3),sqrt(5)) = Q(sqrt(3)+sqrt(5)) und somit galois.

mfg

20.05.2011, 21:27

tigerbine

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Meinst du damit, dass man das alternativ durch einzelnes Adjungieren hätte machen können? nur so war es nun ja nicht angegegeben und daher wollte ich es mal nachrechnen.

20.05.2011, 21:32

leithian

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Minimalpolynom bestimmen macht man eigentlich meistens so wie du es gemacht hast ich wollte nur bemerken, dass es falls man galois/normal/seperabel zeigen will oft hilfreich ist, wenn man Zwischenkörper/Komposita betrachtet.

Das ist dann meistens schneller als es explizit zu berechnen (was natürlich auch immer geht).

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21.05.2011, 00:42

tigerbine

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Ok, nun weiß ich, dass die Erweiterung galoisch ist und vom Grad 4. Die Galoisgruppe hat dann die Ordnung 4. Ist also entweder isomorph zu C4 oder V4. Wir hatten hier so was ähnliches. Galoisgruppe bestimmen [SÜA] Nun frage ich mich folgendes: Es ist doch $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{3}, \sqrt{5})=\mathbb Q(\sqrt{3}+\sqrt{5}) \end{eqnarray*}$ . Stimmen nun die Galoisgruppen überein? Oder hängen die davon ab, wie die Erweiterung durchgeführt wurde.

Bei ersterem $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{3}, \sqrt{5}) \end{eqnarray*}$ hatte Elvis ja gesagt, dass ich nur Nullstellen des gleichen irreduziblen Polynoms permutieren darf. So kamen wir auf 4 Abbildungen.

Schreiben wir das Minpoly mal vereinfacht so über dem Zerfällsungskörper.

$\begin{eqnarray*} f=(x-a)(x+a)(x-b)(x+b) \end{eqnarray*}$

Sei nun $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ ein Element der Galoisgruppe. Dann gilt $\begin{eqnarray*} \sigma(-a)=-\sigma(a) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma(-b)=-\sigma(b) \end{eqnarray*}$ . Welche Abbildungen sind nun möglich? Die Abbildung muss auf Q die Identität sein und ist durch die Bilder von a und b eindeutig bestimmt.

$\begin{eqnarray*} \sigma_1: id \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sigma_2: a \mapsto -a, &&b \mapsto b<br /> \sigma_3: a \mapsto a, &&b \mapsto -b<br /> \sigma_4: a \mapsto -a, &&b \mapsto -b \end{eqnarray*}$

Warum geht nun nicht nicht noch mehr? Hier sind das ja alles Nullstellen den gleichen irreduziblen Polynoms?

edit:
Stimmt das mit der Ordnung der Gruppe überhaupt? Lese gerade so viel von "transitive Untergruppe der S4?" verwirrt

verwirrt

Wäre schön, wenn wir das Beispiel mal zusammen rechnen könnten. Konnte maple zwar was entlocken, aber ich versehe trotz Hilfetext die "Zeichen" nicht. Hammer

Hammer

code:
1: 2: 3:	galois(x^4-16*x^2+4); "4T2", {"E(4)", "2[x]2"}, "+", 4, {"(1 2)(3 4)", "(1 4)(2 3)"}

21.05.2011, 02:53

leithian

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Hi,

Die Galoisgruppen $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{3}, \sqrt{5}) , \mathbb Q(\sqrt{3}+\sqrt{5}) \end{eqnarray*}$ sind isomorph, denn die Galoisgruppe(bzw "up to isomorphism") hängt nur vom Körper ab und nicht von der Art wie er erzeugt ist.

Tatsächlich sind $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{5}) \end{eqnarray*}$
linear unabhänig über Q, dh. haben als Schnitt nur Q.

Es gibt dann einen Isomorphismus $\begin{eqnarray*} Gal(\mathbb Q(\sqrt{5}))xGal(\mathbb Q(\sqrt{3})=Gal(\mathbb Q(\sqrt{5},\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$ .
Der Grad der Erweiterung ist 4.

Die Basis ist: $\begin{eqnarray*} 1, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{15} \end{eqnarray*}$

Deine ersten beiden Abbildungen funktionieren nicht richtig weil: $\begin{eqnarray*} \sigma_2: a \mapsto -a, &&b \mapsto b \end{eqnarray*}$ heißt, dass sqrt(3) -> sqrt(3) und gleichzeitig nach -sqrt(3).

Überlege dir was das mit Einschränkungen auf Zwischenkörper zu tun hat?

Die Abbildungen der Galoisgruppe sind (wenn ich mich nicht irre..)

$\begin{eqnarray*} \sigma_2: a \mapsto b, &&b \mapsto a<br />\sigma_3: a \mapsto -a, &&b \mapsto -b<br />\sigma_4: a \mapsto -b, &&b \mapsto -a \end{eqnarray*}$

Maple sagt dir, dass die Gruppe Ordnung 4 hat und von den Zyklen (12)(34) und (14)(23) erzeugt wird.

vielleicht hilft das ein wenig.

mfg

21.05.2011, 13:50

juffo-wup

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Zum ersten Posting: Man müsste dort noch zeigen, dass f irreduzibel ist, sonst folgt erstmal nur, dass das Minimalpolynom f teilt. Um zu zeigen, dass f das MinPol ist, genügt es $\begin{eqnarray*} [\mathbb{Q}(\sqrt{3}+\sqrt{5}):\mathbb{Q}]=4 \end{eqnarray*}$ zu zeigen. Ein Beweis, der das aus der bekannten Aussage $\begin{eqnarray*} [\mathbb{Q}(\sqrt{3},\sqrt{5}):\mathbb{Q}] \end{eqnarray*}$ folgert, steht eigentlich schon fast da, aber von der Reihenfolge der Beweisführung her müsste der Schluss $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt{3},\sqrt{5})=\mathbb{Q}(\sqrt{3}+\sqrt{5}) \end{eqnarray*}$ zuerst kommen. (Oder alternativ ein anderer Irreduzibilitätsbeweis für f)

21.05.2011, 15:55

tigerbine

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@juffo
Frage, muss ich in so Aufgaben die Nullstellen eigentlich bestimmen?

$\begin{eqnarray*} f=(x+\sqrt{3}+\sqrt{5})(x-\sqrt{3}-\sqrt{5})(x+\sqrt{3}-\sqrt{5})(x-\sqrt{3}+\sqrt{5}) \end{eqnarray*}$

War hier ein "lucky shot". Sicher kennt man eine Nullstelle, so hatte man das Polynom ja gebaut. Das sind nun Klausuraufgaben ohne technische Hifsmittel.

Zitat:

Um zu zeigen, dass f das MinPol ist, genügt es $\begin{eqnarray*} [\mathbb{Q}(\sqrt{3}+\sqrt{5}):\mathbb{Q}]=4 \end{eqnarray*}$ zu zeigen.

Also ich wäre der Meinung, dass man zumindest sagen kann $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt{3}+\sqrt{5})\subseteq \mathbb{Q}(\sqrt{3},\sqrt{5}) \end{eqnarray*}$

Nun ist für $\begin{eqnarray*} K:=\mathbb Q(\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$ das Polynom $\begin{eqnarray*} m_1=x^2-3 \end{eqnarray*}$ irreduzibel über Q [z.B. Eisenstein,p=3] und $\begin{eqnarray*} [\mathbb Q(\sqrt{3}):\mathbb Q]=2 \end{eqnarray*}$ . Nun betrachten wir K(\sqrt{5}). Es ist dann $\begin{eqnarray*} m_2=x^2-5 \end{eqnarray*}$ irreduzibel über K, keine Nullstelle in K und $\begin{eqnarray*} [K:\mathbb Q(\sqrt{2})]=2 \end{eqnarray*}$ . Nach "Produktregel" dann $\begin{eqnarray*} [\mathbb{Q}(\sqrt{3},\sqrt{5}):\mathbb Q]=4 \end{eqnarray*}$ . Somit stimmen die Erweiterungen überein.

Nun hätte ich ja auch ander herum adjungieren können. Die Körpererweitungen hat schon mal 2 echte Teilkörper mit Erweiterungsgrad 2. Von der Galoisgruppe weiß man, dass sie die Ordnung 4 hat und wegen des Hauptsatzes nun 2 echte Untergruppen der Ordnung 2. Somit kann es sixch nicht um eine zyklische Gruppe handeln. Die hat zu jedem Teiler der Gruppenordnung genau eine Untergruppe. Somit verbleibt hier nur die kleinsche Vierergruppe.

Das wäre nun ein Weg, ohne auf die "Nullstellenpermutation" eingegangen zu sein.

- Stimmt es so nun?
- Dann würde ich es aber doch gerne mit den Nullstellen verstehen...

Danke euch beiden schon mal. Wink

Wink

21.05.2011, 16:56

leithian

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Hi,

es fehlt $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt{15}) \end{eqnarray*}$ als echter Zwischenkörper, was bei 3 Untergruppen von V4 auch Sinn macht smile

smile

Sonst ist die Gradargumentation richtig.

21.05.2011, 17:07

tigerbine

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Hi, verstehe nicht, warum der "fehlt". Dass es ihn gibt, verstehe ich. Aber für die Argumentation gegen die C4 brauche ich doch "nur", dass es nicht nur einen Zwischenkörper (Grad 2) gibt. Dazu muss ich doch noch nicht das komplette Diagramm kennen.

Wenn ich die Diagramme zeichne, dann müssen natürlich alle drin sein. Wink

Wink

21.05.2011, 17:18

leithian

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Das stimmt; ich hab nur

Zitat:

wegen des Hauptsatzes nun 2 echte Untergruppen der Ordnung 2

als "genau" 2 gelesen und nicht als "mindestens" 2 .

21.05.2011, 17:22

tigerbine

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Ok. Später versuche ich mich an dem Verständnis der Nullstellen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.05.2011, 23:33

juffo-wup

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Zitat:

Original von tigerbine
Frage, muss ich in so Aufgaben die Nullstellen eigentlich bestimmen?

$\begin{eqnarray*} f=(x+\sqrt{3}+\sqrt{5})(x-\sqrt{3}-\sqrt{5})(x+\sqrt{3}-\sqrt{5})(x-\sqrt{3}+\sqrt{5}) \end{eqnarray*}$

War hier ein "lucky shot". Sicher kennt man eine Nullstelle, so hatte man das Polynom ja gebaut. Das sind nun Klausuraufgaben ohne technische Hifsmittel.

Mit der Feststellung $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt{3}+\sqrt{5})=\mathbb{Q}(\sqrt{3},\sqrt{5}) \end{eqnarray*}$ und dem von leithian angesprochenen Isomorphismus $\begin{eqnarray*} Gal(\mathbb{Q}(\sqrt{3})/\mathbb{Q})\times Gal(\mathbb{Q}(\sqrt{5})/\mathbb{Q}) \to Gal(\mathbb{Q}(\sqrt{3},\sqrt{5})/\mathbb{Q}) \end{eqnarray*}$ , bei dem ein Paar von Homomorphismen $\begin{eqnarray*} (\sigma_1,\sigma_2) \end{eqnarray*}$ auf den Homomorphismus abgebildet wird, der eingeschränkt auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} \sigma_1 \end{eqnarray*}$ und eingeschränkt auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt{5}) \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} \sigma_2 \end{eqnarray*}$ ist, kann man sehen, dass das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} \sqrt{3}+\sqrt{5} \end{eqnarray*}$ auch seine anderen Nullstellen haben muss, denn sie ergeben sich als Bilder von Homomorphismen der Galoisgruppe.

Zitat:

Also ich wäre der Meinung, dass man zumindest sagen kann $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt{3}+\sqrt{5})\subseteq \mathbb{Q}(\sqrt{3},\sqrt{5}) \end{eqnarray*}$

Nun ist für $\begin{eqnarray*} K:=\mathbb Q(\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$ das Polynom $\begin{eqnarray*} m_1=x^2-3 \end{eqnarray*}$ irreduzibel über Q [z.B. Eisenstein,p=3] und $\begin{eqnarray*} [\mathbb Q(\sqrt{3}):\mathbb Q]=2 \end{eqnarray*}$ . Nun betrachten wir K(\sqrt{5}). Es ist dann $\begin{eqnarray*} m_2=x^2-5 \end{eqnarray*}$ irreduzibel über K, keine Nullstelle in K und $\begin{eqnarray*} [K:\mathbb Q(\sqrt{2})]=2 \end{eqnarray*}$ . Nach "Produktregel" dann $\begin{eqnarray*} [\mathbb{Q}(\sqrt{3},\sqrt{5}):\mathbb Q]=4 \end{eqnarray*}$ . Somit stimmen die Erweiterungen überein.

Ich sehe nicht, wie daraus folgt, dass die Erweiterungen übereinstimmen. Um das zu zeigen, müsste man für die andere Teilmengenrelation noch $\begin{eqnarray*} \sqrt{3},\sqrt{5}\in \mathbb{Q}(\sqrt{3}+\sqrt{5}) \end{eqnarray*}$ zeigen, was du oben auch schon gemacht hast. Übrigens ist der Beweisschritt, dass $\begin{eqnarray*} x^2-5 \end{eqnarray*}$ keine Nullstelle in K hat, zwar sehr leicht aber nicht vollkommen trivial (vielleicht war dir das aber auch schon klar.. manchmal kann es schwierig sein zu sagen, ob zwei Körpererweiterungen nichttrivialen Schnitt haben, auch wenn sie von 'einfach aussehenden' Elementen erzeugt sind).

21.05.2011, 23:36

tigerbine

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Zitat:

Original von juffo-wup
[Ich sehe nicht, wie daraus folgt, dass die Erweiterungen übereinstimmen. Um das zu zeigen, müsste man für die andere Teilmengenrelation noch $\begin{eqnarray*} \sqrt{3},\sqrt{5}\in \mathbb{Q}(\sqrt{3}+\sqrt{5}) \end{eqnarray*}$ zeigen, was du oben auch schon gemacht hast.

Was könnte denn passieren, so dass eine Inklusion und gleicher Grad nicht ausreicht?

21.05.2011, 23:40

juffo-wup

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Es war doch noch nicht $\begin{eqnarray*} [\mathbb{Q}(\sqrt{3}+\sqrt{5}):\mathbb{Q}]=4 \end{eqnarray*}$ bekannt, oder habe ich etwas verpasst?

21.05.2011, 23:47

tigerbine

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Glaube, da habe ich mich selbst überlistet. Und das zu zeigende, als gegeben angenommen. Finger1

Finger1

Mit obigen Rechnungen [andere Inkusion] bekommen wir es ja dann zum Glück noch hin.

Ich durchsuche nun noch mal andere Unterlagen wegen der Nullstellenpermutiererei. Irgendwie kann ich mich mit der noch nicht anfreunden.

Der Isomorphismus von leithian ist mir auch neu und das man sich so die Zerlegung in Nullstellen bauen kann.

Ich erinnere mich nur dunkel, dass immer Potenzen von Nullstellen betrachtet wurden und man ggf. so auf die Gruppe kam und irgendwas mit Einheitswurzeln. Das mag aber auch ein anderes Kapitel sein. Leider alles sehr konfus in meinen Gedanken im Moment. Big Laugh

Big Laugh

21.05.2011, 23:53

juffo-wup

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Das mit Einheitswurzeln sieht stark nach der Situation bei Polynomen des Typs $\begin{eqnarray*} x^n-a \end{eqnarray*}$ aus. In dem Fall sind alle Nullstellen durch $\begin{eqnarray*} \alpha \xi^k \end{eqnarray*}$ (k=0,1,..,n-1) gegeben, wenn $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ eine fest gewählte Nullstelle und $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ eine primitive n-te Einheitswurzel ist.

21.05.2011, 23:59

tigerbine

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Werde mal danach suchen.

Hier hatten wir nun:

Minimalpolynom nachgewiesen
Galoiserweiterung nachgewiesen
Isomorphietyp der Galoisgruppe

Wie lauten nun die echten Zwischenkörper bis auf Isomorphie? Das hatten wir glaube ich auch schon erwähnt

$\begin{eqnarray*} Q(\sqrt{3}), Q(\sqrt(5), Q(\sqrt{15}) \end{eqnarray*}$

Dann wären wir so gesehen mit der gesamten Aufgabe durch. Und ich muss das mit den Nullstellen nun noch entnebeln.

22.05.2011, 00:15

juffo-wup

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Zitat:

Original von tigerbineDann wären wir so gesehen mit der gesamten Aufgabe durch. Und ich muss das mit den Nullstellen nun noch entnebeln.

Ja. Wobei ich nicht verstehe, was dir nicht klar ist. Die Fakten:

(1) Ein K-Homomorphismus bildet Nullstellen eines Polynoms in K[X] auf Nullstellen desselben Polynoms ab. Das kann man direkt anhand der Definition nachrechnen.

(2) Andersherum gibt es bei einer Galois-Erweiterung L/K zu jedem Element x in L und für jede weitere Nullstelle y des Minimalpolynoms von x in K[X] einen Homomorphismus der Galoisgruppe, der x auf y schickt. Der Beweis davon ist Teil des Beweises des Hauptsatzes der Galoistheorie.

Ist L der Zerfällungskörper von einem separablen Polynom f, dann wird wegen (1) jeder K-Automorphismus $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ von L jede Nullstelle von f in L auf eine Nullstelle von f in L schicken. Da $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ injektiv ist, bedeutet das eine Permutation der Nullstellenmenge von f, dementsprechend kann man die Galoisgruppe G als Untergruppe der symmetrischen Gruppe in den Nullstellen von f auffassen. Wegen (2) ist es eine transitive Untergruppe.

22.05.2011, 00:24

tigerbine

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Wir hatten

$\begin{eqnarray*} f=x^4-16x^2+4=(x+\sqrt{3}+\sqrt{5})(x-\sqrt{3}-\sqrt{5})(x+\sqrt{3}-\sqrt{5})(x-\sqrt{3}+\sqrt{5}) \end{eqnarray*}$

Zitat:

(1) Ein K-Homomorphismus bildet Nullstellen eines Polynoms in K[X] auf Nullstellen desselben Polynoms ab. Das kann man direkt anhand der Definition nachrechnen.

f war doch irreduzibel über Q. So, da muss nun aber doch ein Haken sein, denn ich durfte die Bildnullstelle nicht beliebig wählen. Woher weiß ich denn, welche ich nehmen darf? Muss man da immer rechnen, ob man auf einen Widerspruch kommt? Das ist mir hier nicht klar. Ich sehe erst mal 4 gleichwertige Nullstellen.

Ist es nur der geübte Blick, der einen erkennen läßt, wenn eine Abbildung gegen die Bedingung, dass jedes q aus Q wieder auf q abgebildet werde muss, verstößt?

22.05.2011, 00:38

juffo-wup

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Wie schon gesagt gibt es erstmal für jedes Paar von Nullstellen (x,y) einen Homomorphismus der Galoisgruppe, der x auf y schickt.
Da die Erweiterung $\begin{eqnarray*} Q(\sqrt{3}+\sqrt{5}) \end{eqnarray*}$ einfach ist, ist die Galoisgruppe sogar eindeutig festgelegt als $\begin{eqnarray*} \{\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3,\sigma_4\} \end{eqnarray*}$ wobei die $\begin{eqnarray*} \sigma_i \end{eqnarray*}$ das erzeugende Element $\begin{eqnarray*} \sqrt{3}+\sqrt{5} \end{eqnarray*}$ auf die 4 verschiedenen Nullstellen des Minimalpolynoms schicken. ( $\begin{eqnarray*} \pm \sqrt{3} \pm \sqrt{5} \end{eqnarray*}$ )

edit: Also z.B.
$\begin{eqnarray*} \sigma_1(\sqrt{3}+\sqrt{5})=\sqrt{3}+\sqrt{5} \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} \sigma_1=id. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sigma_2(\sqrt{3}+\sqrt{5})=\sqrt{3}-\sqrt{5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sigma_3(\sqrt{3}+\sqrt{5})=-\sqrt{3}+\sqrt{5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sigma_4(\sqrt{3}+\sqrt{5})=-\sqrt{3}-\sqrt{5} \end{eqnarray*}$

22.05.2011, 00:41

tigerbine

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Zitat:

Schreiben wir das Minpoly mal vereinfacht so über dem Zerfällsungskörper.

$\begin{eqnarray*} f=(x-a)(x+a)(x-b)(x+b) \end{eqnarray*}$

Sei nun $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ ein Element der Galoisgruppe. Dann gilt $\begin{eqnarray*} \sigma(-a)=-\sigma(a) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma(-b)=-\sigma(b) \end{eqnarray*}$ . Welche Abbildungen sind nun möglich? Die Abbildung muss auf Q die Identität sein und ist durch die Bilder von a und b eindeutig bestimmt.

$\begin{eqnarray*} \sigma_1: id \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sigma_2: a \mapsto -a, &&b \mapsto b<br /> \sigma_3: a \mapsto a, &&b \mapsto -b<br /> \sigma_4: a \mapsto -a, &&b \mapsto -b \end{eqnarray*}$

Dann war mein Fehler hier, dass ich nicht nur das Bild von a sondern auch das von b festgelegt habe? Durch das Bild von a wäre die Abbildung schon eindeutig gewesen und das Bild von b muss ja gar nicht das sein, was ich mir ausgedacht hatte?

22.05.2011, 00:43

juffo-wup

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Zitat:

Original von tigerbine
Dann war mein Fehler hier, dass ich nicht nur das Bild von a sondern auch das von b festgelegt habe? Durch das Bild von a wäre die Abbildung schon eindeutig gewesen und das Bild von b muss ja gar nicht das sein, was ich mir ausgedacht hatte?

Genau. Das Bild von b ist durch die Angabe des Bildes von a schon eindeutig festgelegt, da ja a die Erweiterung erzeugt.

22.05.2011, 00:46

tigerbine

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Um den Isomorphietyp zu bestimmen, würde man nun die Nullstellen nummerieren 1,2,3,4 [um mir das denken in Untergruppe von S4 zu erleichtern] und schauen, was die 4 Abbildungen mit ihnen machen. Also die sigmas ausrechnen. Dann müßte ich die V4 finden?

Wir würde denn eine Galoiserweitungen aussehen, mit der C4? Wenn es die überhaupt gibt [Ist diese Fragestellung aus dem Umkehrproblem der Galoistheorie?]

22.05.2011, 00:59

juffo-wup

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Zitat:

Original von tigerbine
Um den Isomorphietyp zu bestimmen, würde man nun die Nullstellen nummerieren 1,2,3,4 [um mir das denken in Untergruppe von S4 zu erleichtern] und schauen, was die 4 Abbildungen mit ihnen machen. Also die sigmas ausrechnen. Dann müßte ich die V4 finden?

Ja, das wäre ein Weg.

Zitat:

Wir würde denn eine Galoiserweitungen aussehen, mit der C4? Wenn es die überhaupt gibt [Ist diese Fragestellung aus dem Umkehrproblem der Galoistheorie?]

So eine Erweiterung lässt sich ohne Schwierigkeiten finden, zum Beispiel ist dir eventuell bekannt, dass die Galoisgruppe von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\xi_n)/\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ ,wenn $\begin{eqnarray*} \xi_n \end{eqnarray*}$ eine primitive n-te Einheitswurzel ist, isomorph zu $\begin{eqnarray*} \left(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\right)^{\times} \end{eqnarray*}$ ist. Für n=5 ergibt das eine zu $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ isomorphe Gruppe.

Sonst hätte ich auch noch ein Beispiel, bei dem du direkt die Galoisgruppe als $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ bestimmen könntest : $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}\left(\sqrt{5+\sqrt{5}}\right) \end{eqnarray*}$

22.05.2011, 01:03

tigerbine

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Zitat:

Sonst hätte ich auch noch ein Beispiel, bei dem du direkt die Galoisgruppe als $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ bestimmen könntest : $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}\left(\sqrt{5+\sqrt{5}}\right) \end{eqnarray*}$

Was meinst du mit direkt? Ich soll nicht die Schritte die wir hier gemacht haben, nun darauf anwenden. Also Polynom bestimmen, prüfen ob Minimalpolynom etc?

22.05.2011, 01:12

juffo-wup

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Ich habe gerade festgestellt, dass es doch kein Beispiel ist, dort kommt auch $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2 \end{eqnarray*}$ heraus. Hatte das falsch in Erinnerung, sorry.

22.05.2011, 01:13

tigerbine

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Ok, ist ja nicht schlimm. Die Fehlerhoheit liegt ja noch bei mir. Ich habe eine Aufgabe vom gleichen Bau. Ich versuche nun dort, ob ich schon was von euch gelernt habe. Mache ich in einem neuen Thread.

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