Numerische Integrale

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21.05.2011, 15:32	Remo7	Auf diesen Beitrag antworten »
Numerische Integrale Hallo zusammen! Ich bins nochmals. Wie könnte der Ansatz zu folgender Aufgabe aussehen? Sei f stetig auf [0,1], wobei gilt: f(x) + f(1-x) = 1 für alle x aus [0,1]. Nun soll gezeigt werden, dass das Integral von 0 bis 1 von f(x) = 0.5 ist. Hierzu 2 Fragen: Wie kann man f(x) zusammenfassen? (bzw. was ist f(x)?) Und: Mit welcher Regel könnte man hier ran gehen? Trapez, Simpson, ... ? Gruss, Remo
21.05.2011, 15:35	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Numerische Integrale Kannst du den OT einstellen, einscannen? Teil 1 klingt nach Analysis. Es geht ja wohl um das exakte Integral. Teil 2 sind Näherungsformeln. i.A. nur für Polynome exakt.
21.05.2011, 16:21	Remo7	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Numerische Integrale Was ist OT? Also dasProblem wurde uns in Numerik gestellt. Trotzdem..ich hab immernoch keine Idee, wie ich die Behauptung zeigen könnte..
21.05.2011, 16:25	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Numerische Integrale OT= OriginalTon.
21.05.2011, 16:52	Remo7	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Numerische Integrale Der Originalton lautet: Sei f eine stetige Funktion auf [0,1], welche f(x) - f(1-x) = 1 für alle x aus [0,1] erfüllt. Zeige, dass das Integral von 0 bis 1 von f(x) = 0.5 ist.
21.05.2011, 17:05	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Numerische Integrale Mmh.. f(x) - f(1-x) = 1 für alle x aus [0,1], dann auch für x=0.5. Dann steht da $\begin{eqnarray} 1=f(0.5)-f(1-0.5)=f(0.5)-f(0.5)=0 \end{eqnarray}$ Kann ja nicht sein... Tippfehler, oder? $\begin{eqnarray} 1=f(0.5)+f(1-0.5)=f(0.5)+(0.5)=2f(0.5) \end{eqnarray}$ Somit kennen wir $\begin{eqnarray} f(0)=1, f(0.5)=0.5, f(1)=0 \end{eqnarray}$ . Mir fällt nun nicht direkt ein, wie f konkret aussieht. Idee wäre eine Folge von Integralen [Summierte Regeln] zu bauen, und den Grenzwert zu betrachten. Der sollte ja 0.5 sein.
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21.05.2011, 17:09	Remo7	Auf diesen Beitrag antworten »
Also vielleicht noch eine kleine Bemerkung meinerseits: Es steht nicht "=1", sondern $\begin{eqnarray} \equiv 1 \end{eqnarray}$ , was in diesem Fall aber kein Unterschied machen würde..
21.05.2011, 17:26	Remo7	Auf diesen Beitrag antworten »
PS: Wie du richtig bemerkt hast, hat sich ein Tippfehler eingeschlichen. Natürlich müsste es, wie beim ersten Post, f(x) + f(1-x) heissen.
21.05.2011, 17:30	Remo7	Auf diesen Beitrag antworten »
PS2: Aber auch für die summierte Regeln müsste man f doch kennen, nicht?
21.05.2011, 17:31	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn wir die Kntoen schon symmetrisch legen, dann kann man doch immer 2 zusammenfassen und die Summe kennen wir ja mit 1. Das war meine Idee.
21.05.2011, 17:37	Remo7	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, soweit kann ich deiner Idee auch noch folgen. Aber das Problem ist ja dann, das Integral von 0 bis 1 zu bestimmen. Oder kann man irgendwie sagen, dass diese summierten Regeln gegen 0.5 konvergieren?
21.05.2011, 18:35	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Fang doch mal mit ein paar Formeln an.
22.05.2011, 01:32	Remo7	Auf diesen Beitrag antworten »
..mit der Mittelpunkts-Regel käme man für das Integral auf 0.5 - allerdings ist das auch nicht allzu verwunderlich, da: f(0) = 1, f(0.5)=0.5, f(1)=0 gilt.
22.05.2011, 01:38	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun mach mal eine summierte Mittelpunktsregel. Also nun mit 2 Intervallen. [0,0.5][0.5,1]
22.05.2011, 10:48	Remo7	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah - easy ..gibt ja 0.5, also genau, was zu zeigen war YES
22.05.2011, 12:11	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Wichtig ist, dass es so bleibt, also auch bei höherem Summierungsgrad. Man kann das für jede dr Formeln zeigen. Blick in die Konvergenztheorie liefert dann das gewünschte.
22.05.2011, 13:10	Remo7	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, also dass man das dann für jede Formel zeigen kann, ist nachvollziehbar. Aber was meinst du konkret mit "Blick in die Konvergenztheorie"? Hierzu bräuchte man ja eine konkrete Formel, um dann die Anzahl Intervalle gegen unendlich laufen zu lassen und die Konvergenz zu beobachten. Oder doch nicht?
22.05.2011, 13:17	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \|I(f)-I^{M}(f)\| \leq \frac{b-a}{24} \cdot h^2 \cdot \max_{x \in [a,b]}~\|f''(x)\| \end{eqnarray}$ Problem ist für mich, wir können zwar sagen, dass $\begin{eqnarray} I^{M}(f)=0.5 \end{eqnarray}$ für alle h und h gegen 0 laufen lassen. Wie du richtig sagst, wissen wir noch nicht mal, ob f zweimal (stetig) diffbar ist. Ich habe daher im Moment kein "gutes Gefühl" zu sagen, nur weil die Folge der Näherungsintegrale konstant ist, folgt automatisch, dass das I(f)=0.5. Da sehe ich im Moment noch ein Lücke im Beweis.
22.05.2011, 13:25	Remo7	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, an diesem Punkt habe ich auch ein ungutes Gefühl. Man weiss zwar, dass es so sein muss, aber beweisen lässt es sich irgendwie doch nicht für den Allgemeinfall. Oder wäre es so möglich: Man zeigt, dass die Behauptung für 2 Intervalle stimmt. Man nimmt dann an, dass sie für n Intervalle stimmt. Und dann kann man à la vollständige Induktion zeigen, dass die Formel auch für n+1-Intervalle gegen 0.5 konvergiert. [hier immer mit der Mittelpunktsregel, aber mit den anderen würde es genauso gehen]
22.05.2011, 13:42	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Das die summ Mittelpunktsformel immer 0.5 liefert können wir zeigen. Was uns fehlt ist ein Bezug zum eigentlichen Integral I(f). In die Fehlerformel spielt mehr Information rein als die uns gegebene Stetigkeit. Kannst du vor der Abgabe noch beim Assistenten fragen?
22.05.2011, 14:07	Remo7	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ich kann's morgen versuchen. Aber ich denke, dass bei dieser Aufgabe schon primär nach der Mittelpunktsformel gefragt ist, denn eine weitere Teilaufgabe besagt, dass man zeigen soll, dass auch die summierte Trapezregel exakt ist. Das würde dann heissen, dass wir die Aufgabe schon gelöst hätten, und die zusätzlichen Überlegungen nicht notwendig wären. Nichts desto trotz werd' ich morgen mal nachhaken

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