Polynomring |
| 21.05.2011, 20:50 | Furius | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Polynomring Sei F2 = {0,1} ein Körper mit 2 Elementen und F2[x] der Polynomring über F2. a) Zeigen sie, dass I := (x^2 + x + 1) * F2[x] := {(x^2 + x + 1) * p(x) | p(x) element F2[x] } eine Ideal von F2[x] ist. Meine Ideen: Versteh nicht wirklich was ein Polynomring ist das ist mein Problem.. und find per google und in büchern keine wirklich definition dazu :-/ Genauso beim Ideal.. Ein Ideal ist also eine Teilmenge des Rings sagen wir R. Dann steht da I + I muss ebenfalls Teilmenge von I sein. Und I * R muss ebenfalls Teilmenge von I sein.. aber da versteh ich nicht ganz wie das seien kann weil, das kann doch nur der fall sein wenn I = R ist oder? |
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| 21.05.2011, 21:19 | Furius | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hab mir die aufgabe jetzt noch 12312321 mal angeguckt und ein paar Ideen bekommen 
Also ich muss ja zeigen das I ein ideal ist. Dafür muss ich erstmal zeigen, das I eine Teilmenge von F2[x] ist oder? -> (x^2 + x +1) * p(x) immer ein element in F2[x] ist oder? und F2[x] besteht doch aus x,x^2,x^3,....,x^n oder? Und da mein Körper F2 = {0,1} bestitzt ist dann F2[x] doch aus 1,1^2,1^3,.....,1^n oder hab ich nun alles falsch verstanden? Hilfe!!! :-/ |
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| 21.05.2011, 21:20 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Polynomring Die Definition des Ideals findet sich bei Wikipedia, die des Polynomringes ebenfalls, einfach die Suchmaschine deiner Wahl benutzen. Es geht hier einfach darum, zu prüfen, ob es sich um ein Ideal handelt. Liegt zum Beispiel das neutrale Element der Addition in deiner Menge? Für zwei Elemente aus deiner Menge muss die Differenz dieser beiden Elemente wieder in der Menge liegen und zu guter letzt, ist p(x) aus dem Ring und r(x) aus dem Ideal, so liegt das Produkt der beiden wieder in dem Ideal. Beginne einmal damit, bei Wiki oder so zu lesen und benenne einmal das neutrale Element der Addition. Mit welchem p(x) muss man x²+x+1 denn multiplizieren um das neutrale Element zu erhalten? |
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| 21.05.2011, 23:08 | Furius | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also versteh das bei wiki eben nur halb :-/ Aber das neutrale Elemente der Addition ist (0,0,0) in meinem fall oder? Also müsste p(x)= (0,0,0) sein? "Ausgehend von einem kommutativen Grundring R kann man den Polynomring als den Raum der endlichen Folgen in R definieren, ausgestattet mit der komponentenweisen Addition" Zitat von wiki. Mein kommutativer Grundring ist doch in diesem Fall mein Körper oder? Somit besteht mein Polynom Ring doch nur aus den Elementen {1,0},{0,0},{0,1} oder?! |
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| 21.05.2011, 23:10 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dein Polynomring besteht aus allen Polynomen beliebigen Grades mit Koeffizienten aus K, also es werden nur die Koeffizienten 0 und 1 zugelassen, da das die Elemente des zugrunde liegenden Körpers sind. Das neutrale Element der Addition ist das Nullpolynom, ist das in deiner Menge enthalten? Ich verstehe deinen Post nur schwer bis gar nicht, wieso sollten die Elemente des Polynomringes denn 2-elementige Mengen sein? |
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| 21.05.2011, 23:17 | Furius | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Achso.. Irgendwie versteh ich diesen Polynomring nicht :-/ Also ich hab meinen Körper mit {0,1} also besteht man Polynomring dann aus x^0 + x^1 = 1+x ?! |
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| 21.05.2011, 23:19 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aus allen Polynomen, nicht nur aus einem.... Es sind die Polynome der Form: mit . |
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| 21.05.2011, 23:23 | Furius | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja aber mein Körper hat doch nur 2 Elemente oder? also geht n nur von 0 bis 1? Sorry steh grad voll aufm schlauch mit dem ding.. :-/ |
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| 21.05.2011, 23:29 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, die Koeffizienten sind aus dem zugrunde liegenden Körper, nicht die Exponenten, die sind aus den natürlichen Zahlen. |
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| 21.05.2011, 23:31 | Furius | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja aber was werden denn dann meine Koeffizienten bei x^3 z.b?! |
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| 21.05.2011, 23:42 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich versteh wirklich dein Problem nicht, es ist |
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| 21.05.2011, 23:52 | Furius | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Achsoooo... ahh -.- jez hab ichs.. danke
Also ist mein Neutrales Element der Addition doch enthalten weil p(x) = (0,0,0) seien kann oder? |
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| 21.05.2011, 23:53 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wieso ist p(x) schon wieder oder immer noch ein Zahlentripel? p(x) ist ein Polynom, und das neutrale Element der Addition ist p(x)=0, also das Nullpolynom. Jetzt überlege, ob dieses in deiner Menge liegt. |
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| 21.05.2011, 23:57 | Furius | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
In wikipedia steht: Ausgehend von einem kommutativen Grundring R kann man den Polynomring als den Raum der endlichen Folgen in R definieren, ausgestattet mit der komponentenweisen Addition. Also ist mein polynom ring doch ne Folge oder? Und dann habe ich ein p(x) element von diesem Ring welches ich mit (x^2+x+1) multiplizieren soll...?! |
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| 22.05.2011, 00:00 | Furius | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aber p(x) = 0 liegt aufjedenfall in meinem Polynomring da ich eben als Koeffizient 0 wählen kann und somit alle elemente im Ring 0 sind. |
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| 22.05.2011, 00:05 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das kannst du tun, in unserem Fall währe das dann aber eine Folge aus n Elementen und nicht aus 3, nämlich das n-Tupel (0,0,0,.....,0,0,0) und nicht das Tripel (0,0,0). Genau so kannst du den Vektorraum der Polynome auch als n-dimensionalen euklidschen Vektorraum auffassen, denn er ist isomorph dazu, ob sich das hier anbietet sei einmal ganz dahingestellt, zum einen müsstest du dann die Isomorphie zeigen, wenn sie in der Vorlesung noch nicht drangekommen ist, zum zweiten ist es anstrengend, die ganze Zeit n Elemente in einem Tupel mitzuschleppen, es geht auch einfacher.
Das ist richtig. Nun nimm dir zwei Elmente heraus und prüfe, ob die Differenz auch in der Menge liegt, in unserem Körper also die Summe, da 1=-1 ist. |
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| 22.05.2011, 16:20 | Furius | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also nehme ich dann: ((x^2+x+1)*p(x)) + ((x^2+x+1)*p'(x)) muss element des Ideals sein oder? Hab nun verschiedene p(x) genommen. Nun kann ich doch wenn ich alles richtig verstanden hab, p(x) = x oder p'(x) = x^2 wählen oder? Und dann müsste die Summe davon ja drinliegen weil ich p''(x) = x + x^2 auch wählen könnte oder? Sag mir bitte das ich es richtig verstanden habe
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| 22.05.2011, 17:03 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, du kannst nicht einfach irgendwelche Polynome wählen, dass du zwei unterschiedliche genommen hast ist durchaus legitim. Da es sich um einen Ring handelt gelten die Distributivgesetze, also wende sie doch an. Du hast , ich habe p_1 und p_2 gewählt, da p' die Ableitung bezeichnet in der Analysis, um verwechslungen vorzubeugen. Lasse nun hier drauf das Distributivgesetz los. |
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| 22.05.2011, 17:11 | Furius | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist dann: (x^2+x+1) * (p1(x)+p2(x)) Das war ja auch nur ein beispiel mit dem wählen... weil es gibt doch aufjedenfall ein Polynom p3(x) = (p1(x)+p2(x)) oder? Weil wie in dem Beispiel erklärt kann ich ja 0 und 1 beliebig als Koeffizienten wählen und damit alle Variationen bilden oder? Will nur wissen ob ich das verstanden habe. Und mathematisch würde ich das eben übers Distributivgesetz begründen, weil ich kann die ja so zusammen fassen, und (p1(x)+p2(x)) ist dann p3(x) und das ist Element F2[x]. |
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| 22.05.2011, 17:17 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau, mit ist auch . Last but not least ist zu prüfen, ob für ein beliebiges r(x) aus dem Polynomring auch das Produkt mit einem beliebigen Element der Menge wieder in der Menge liegt, hier ist die Argumentation ganz ähnlich. |
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| 22.05.2011, 17:19 | Furius | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jaa da hab ich vllt was falsch gemacht.. Mein Körper besteht doch nur aus 2 Elemente eben 0 und 1 oder? Also wenn ich r(x)*p(x) nehme hab ich dann einmal 0*p(x) was eben dem Nullpolynom entspricht.. und somit element von I ist. Und einemal 1*p(x) was eben p(x) ist.. Da hab ich nun i.wie ein Problem weil die elemten von I ja die Form haben: (x^2+x+1)*p(x) und ich somit doch nicht jedes p(x) habe oder? |
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| 22.05.2011, 17:24 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wieso willst du denn wieder ein Körperelement hinzumultiplizieren? Ich dachte, das wäre mitlerweile geklärt, du nimmst ein beliebiges Elemnt aus dem Ring, also ein Polynom r(x) und multiplizierst das zu einem beliebigen Elment deiner Menge, also dem Element p(x)*(x²+x+1). Nun ist zu prüfen, ob dieses Element wieder in der Menge liegt. |
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| 22.05.2011, 17:28 | Furius | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ach upps
dachte ich multipliziere ein Körper element mit einem aus dem ring
SorryJa gut.. dann hat man wieder p(x)*(p(x)*(x^2+x+1)) und das ist dann ja p^2(x) und das ist wieder element von F[x] okay danke
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| 22.05.2011, 17:30 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, du nimmst ein r(x), das muss nicht das gleiche Element sein wie p(x), das ist nur ein Spezialfall, also noch mal von vorne. |
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| 22.05.2011, 17:33 | Furius | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja gut
also nehme ich wieder mein p1(x)*(p2(x)*(x^2+x+1)) das darf ich dann umstellen nach p1(x)*p2(x)*(x^2+x+1) Also muss es ein p3(x) geben was = p1(x)*p2(x) ist. Und da ich eben 0 und 1 als Koeffizienten habe kann ich mir damit jedes p(x) bauen. |
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| 22.05.2011, 17:39 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dass es das gibt ist außer Frage, die Frage ist, ob wieder in der Menge liegt. Wie gesagt, die Begründung ist ganz ähnlich zu der letzten. |
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| 22.05.2011, 17:43 | Furius | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hö? aber das ist doch die Antwort oder? Wenn I aus (x^2+x+1) *p(x) für alle p(x) element F[x] ist, So ist dann wenn p3(x)= p1(x)*p2(x) ist doch p3(x)*(x^2+x+1) element von I. |
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| 22.05.2011, 17:47 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es fehlt aber der "kleine" Zusatz, dass . Wie gesagt, das Polynom existiert, aber liegt es auch in dem Ring? Das solltest du schon dazu schreiben. Denn erst nun folgt, dass das Polynom wieder in der gegebenen Menge liegt. Edit: Man könnte auch noch dazu schreiben, dass das Assoziativgesetz der Multiplikation gilt (da es sich um einen Ring handelt) und man deshalb die Umformung vornehmen darf, dass also deshalb ist. |
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| 22.05.2011, 17:57 | Furius | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay ja danke das ist wichtig
sonst gibs wieder Punktabzug :X |
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| 22.05.2011, 17:57 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Noch Fragen? |
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| 22.05.2011, 18:27 | Furius | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja gibt noch ne aufgabe b)
Aber dazu hab ich schon nen Ansatz wenn du darauf noch lust hast: Bestimmen sie die Elemente von F2[x]/I. So das ist ja die Menge aller verschiedenen Äquivalenzklassen oder? Im Skript haben wir nun die Definition das wir einen Kommutativen Ring R haben und ein Ideal von R welches I ist. Dann bilden wir eine Äquivalenzrelation auf R: {(a,b) element RxR| a-b element I} . Ich habe ja jetzt hier auch einen kommutativen Ring, F2[x]. Darauf bilde ich dann eine Äquivalenz relation: { (q1(x),q2(x) element F2[x]xF2[x] | q(x)* (x^2+x+1) element I} Wenn das soweit richtig ist müssten doch meine Äquivalenzklassen einfach q1(x).....qn(x) sein oder? Weil Äquivalenzklasse habe ich so verstanden, das z.B das obere Beispiel a1....an element von R dann sind die Äquivalenzklassen auch a1....an, welche aus b1...bn element R bestehen, für die gilt, das (a1,b1....bn) je teil der Relation sind oder? |
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| 23.05.2011, 00:25 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
F_2[x]/I sind die Polynome des Ringes modulo das Ideal, also alle Polynome, die bei Division durch x²+x+1 den gleichen Rest hinterlassen liegen in einer Restklasse. Du sollst nun diese Restklassen bestimmen. Dazu kannst du dir zuerst einmal überlegen, welchen Grad die Polynome haben, die als Rest bei Division durch x²+x+1 übrig bleiben. |
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