Körper F2 mit zwei Elementen und ein Polynomring

22.05.2011, 15:13

Pingu1591

Körper F2 mit zwei Elementen und ein Polynomring

Meine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} \mathbb F _{2} \end{eqnarray*}$ ={Äquivalenzklasse 0, Äquivalenzklasse 1} der Körper mit 2 Elementen und $\begin{eqnarray*} \mathbb F _{2} \end{eqnarray*}$ [x] der Polynomring über $\begin{eqnarray*} \mathbb F _{2} \end{eqnarray*}$ .
a) Zeigen Sie, dass I:=( $\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$ +x+Äqukl 1)* $\begin{eqnarray*} \mathbb F _{2} \end{eqnarray*}$ [x]:={( $\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$ +x+Äqukl 1)*p(x) element $\begin{eqnarray*} \mathbb F _{2} \end{eqnarray*}$ [x] ein Ideal in $\begin{eqnarray*} \mathbb F _{2} \end{eqnarray*}$ [x] ist.
b) Bestimmen Sie die Elemente von $\begin{eqnarray*} \mathbb F _{2} \end{eqnarray*}$ [x]/I.
c) Bekanntlich ist $\begin{eqnarray*} \mathbb F _{2} \end{eqnarray*}$ [x]/I ein kommutativer Ring, Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb F _{2} \end{eqnarray*}$ [x]/I sogar ein Körper ist. Welche Charakteristik hat er?

Meine Ideen:
Bei dieser Aufgabe bekomme ich noch nicht einmal einen Ansatz hin...
Kann mir jemand helfen?!

Danke im vorrau!

22.05.2011, 16:24

zweiundvierzig

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RE: Körper F2 mit zwei Elementen und ein Polynomring
Um mit (a) anzufangen, ihr habt sicher definiert, was ein Ideal ist. Welche Eigenschaften sind zu prüfen.

Und bitte benutze eine ordentliche Notation (hier gibt's ein Tutorial). So etwas ist kaum lesbar:

Zitat:

Original von Pingu1591
I:=( $\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$ +x+Äqukl 1)* $\begin{eqnarray*} \mathbb F _{2} \end{eqnarray*}$ [x]:={( $\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$ +x+Äqukl 1)*p(x) element $\begin{eqnarray*} \mathbb F _{2} \end{eqnarray*}$ [x]

22.05.2011, 17:52

Pingu15

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RE: Körper F2 mit zwei Elementen und ein Polynomring
Erstmal tut es mir leid, aber ich habe alles was ich finden konnte als Formel eingegeben. Den Rest hab ich leider nicht gefunden...

also zu prüfen ist doch ob I * I eine Teilmenge von I ist und ob I*R eine Teilmenge von I ist, oder?!

22.05.2011, 17:57

lgrizu

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RE: Körper F2 mit zwei Elementen und ein Polynomring
Die a) wurde gerade eben hier ausführlich behandelt: Polynomring

22.05.2011, 17:57

zweiundvierzig

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RE: Körper F2 mit zwei Elementen und ein Polynomring

Zitat:

Original von Pingu15
Erstmal tut es mir leid, aber ich habe alles was ich finden konnte als Formel eingegeben. Den Rest hab ich leider nicht gefunden...

Es ging mir um die mangelnde Übersichtlichkeit. Du meinst also $\begin{eqnarray*} I := (X^2 + X +1) := (X^2 + X +1)\mathbb F_2[X] \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von Pingu15
also zu prüfen ist doch ob I * I eine Teilmenge von I ist und ob I*R eine Teilmenge von I ist, oder?!

Nein, Du musst additive Abgeschlossenheit prüfen ( $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ soll eine Untergruppe sein). Außerdem muss $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ abgeschlossen gegenüber Skalarmultiplikation sein, wie Du richtig gesagt hast.

22.05.2011, 22:21

Pingu15

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RE: Körper F2 mit zwei Elementen und ein Polynomring
Ja so ähnlich stimmt das. Über der 1 müsste nur ein Strich stehen, weil es sich um eine Äquivalenzklasse handelt. Hab immer noch nicht gefunden, ob es dafür einen Befehl gibt...

Habe mir den Beitrag zu Aufgabe a) durchgelesen. Das hab ich schonmal verstanden. Kann mir noch jemand bei b) und c) helfen?!

23.05.2011, 00:14

Mulder

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RE: Körper F2 mit zwei Elementen und ein Polynomring
Für Äquivalenzklassen schreibe zum Beispiel in Latex: \overline{1}.

Zur b) erstmal: Überleg dir mal, was ein Faktorring (oder Restklassenring) eigentlich ist (bzw. schlag es nach). Denn wenn das klar ist, ist die b) sofort erledigt.

Hier im Falle von $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2[x]/I \end{eqnarray*}$ bedeutet "modulo I" eben, dass alle Polynome aus $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2[x] \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} (x^2+x+1) \end{eqnarray*}$ dividiert werden und alle Polynome, die dabei den gleichen Rest lassen, liegen in der gleichen Restklasse.

Wieviele verschiedene Restklassen kann es da denn geben? Wenn du die gefunden hast, bist du fertig.

23.05.2011, 13:55

lgrizu

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RE: Körper F2 mit zwei Elementen und ein Polynomring
@Pingu:

Ein Kommilitone von dir? hat in oben verlinktem Thread die selbe Anschlussfrage gestellt, also Frage b).

23.05.2011, 20:15

Pingu15

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RE: Körper F2 mit zwei Elementen und ein Polynomring
^^ Ich weiß nicht.

Danke für die Hilfe!

23.05.2011, 22:27

lgrizu

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RE: Körper F2 mit zwei Elementen und ein Polynomring
Wir nehmen einmal ein beliebiges Polynom p(x) und stellen dieses folgendermaßen dar: p(x)=q(x)*(x²+x+1)+r(x).

Welchen Grad können die Polynome r(x) annehmen?

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