Funktion bijektiv

22.05.2011, 15:52

USC

Funktion bijektiv

Ich habe hier eine Abbildung $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R*\mathbb R *\mathbb R \Rightarrow \mathbb R*\mathbb R *\mathbb R \end{eqnarray*}$ und soll beweisen, f bijektiv ist mit

$\begin{eqnarray*} f(a,b,c)=(2b,3c,4a) \end{eqnarray*}$

Ich beweise Injektivität mit $\begin{eqnarray*} f(x_{1}) = f(x_{2}) \Rightarrow x_{1}=x_{2} \end{eqnarray*}$ . Leider versteh ich zunächst nicht wie ich das auf die Funktion anwenden kann, weil die Funktionsvorschrift mich etwas verwirrt. Kann mir jemand einen tipp geben?

22.05.2011, 16:13

Mulder

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RE: Funktion bijektiv
Naja, nimm dir doch mal ganz konkret zwei Bilder und setze sie gleich:

$\begin{eqnarray*} f(a,b,c) = f(a',b',c') \end{eqnarray*}$

Das heißt doch im Klartext, dass gelten muss:

$\begin{eqnarray*} (2b,3c,4a) = (2b',3c',4a') \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du ganz stur die Komponenten einzeln vergleichen. Was verwirrt dich da denn so?

Die Surjektivität ist auch einfach.

PS: Latex-Tipp: Schreib lieber $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathbb R \times \mathbb R \times \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

22.05.2011, 16:53

USC

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Danke.

Kann ich dann auch einfach sagen, dass die einzelnen Komponenten gleich sind?

Bei der Surjektivität komme ich nicht weiter.

22.05.2011, 17:19

Mulder

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Zitat:

Original von USC
Kann ich dann auch einfach sagen, dass die einzelnen Komponenten gleich sind?

Natürlich, das ist doch der Punkt. Aus

$\begin{eqnarray*} (2b,3c,4a) = (2b',3c',4a') \end{eqnarray*}$

folgt zwangsläufig auch

$\begin{eqnarray*} 2b=2b' \ \ , \ \ 3c=3c' \ \ , \ \ 4a=4a' \end{eqnarray*}$

Jetzt fehlt noch ein Schritt.

Zitat:

Original von USC
Bei der Surjektivität komme ich nicht weiter.

Ziemlich dürftig. Nimm dir irgendeinen beliebigen Vektor aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R \times \mathbb R \times \mathbb R \end{eqnarray*}$ , meinetwegen $\begin{eqnarray*} (x,y,z) \end{eqnarray*}$ und zeige, dass es dafür ein Urbild gibt (gib es einfach konkret an, die Funktionsvorschrift ist ja gegeben).

22.05.2011, 21:11

USC

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Zitat:

Original von Mulder

Jetzt fehlt noch ein Schritt.

Meinst du damit die Konstanten kürzen?

Zitat:

Original von Mulder

Ziemlich dürftig. Nimm dir irgendeinen beliebigen Vektor aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R \times \mathbb R \times \mathbb R \end{eqnarray*}$ , meinetwegen $\begin{eqnarray*} (x,y,z) \end{eqnarray*}$ und zeige, dass es dafür ein Urbild gibt (gib es einfach konkret an, die Funktionsvorschrift ist ja gegeben).

$\begin{eqnarray*} f(a,b,c) = (x,y,z) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2b,3c,4a) = (x,y,z) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2b = x , 3c = y , 4a =z \end{eqnarray*}$
Daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} b = \frac{x}{2} , c = \frac{y}{3} , a =\frac{z}{4} \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

23.05.2011, 10:30

USC

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Eine Frage noch, ist dann

$\begin{eqnarray*} f^{-1} = (\frac{1}{2}b,\frac{1}{3}c ,\frac{1}{4}a) \end{eqnarray*}$

die Umkehrfunktion?

23.05.2011, 11:11

Mulder

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Was ergibt sich dann denn, wenn du zum Beispiel mal $\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(a,b,c)) \end{eqnarray*}$ konkret ausrechnest? Es müsste sich ja gerade wieder $\begin{eqnarray*} (a,b,c) \end{eqnarray*}$ ergeben.

Das sind Fragen, die du dir ganz leicht selbst beantworten kannst (und auch musst).

23.05.2011, 14:04

USC

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Wenn ich diese Umkehrfunktion nehme

$\begin{eqnarray*} f^{-1} = (\frac{1}{2}b,\frac{1}{3}c ,\frac{1}{4}a) \end{eqnarray*}$

und meine Ausgangsfunktion einsetze, bekomme ich

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(a,b,c)) = (\frac{1}{2}*2b,\frac{1}{3}*3c ,\frac{1}{4}*4a)=(b,c,a) \end{eqnarray*}$

Das ist aber falsch. ich tu mich hier einfach so schwer, weil mir aus der schule ganz andere Funktionen bekannt sind und nicht sowas...

23.05.2011, 14:45

Mulder

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(a,b,c)) = (\frac{1}{2}*2b,\frac{1}{3}*3c ,\frac{1}{4}*4a)=(b,c,a) \end{eqnarray*}$

Nein. Schon witzig, du bastelst dir eine Abbildung und weißt selbst nicht, wie sie funktioniert. Augenzwinkern

Du hattest dir gebastelt:

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(a,b,c) = \left (\frac{1}{2}b,\frac{1}{3}c ,\frac{1}{4}a \right) \end{eqnarray*}$

Dementsprechend ist doch

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(a,b,c)) = f^{-1}(2b,3c,4a) = \left ( \frac{1}{2} \cdot 3c \ , \ \frac{1}{3} \cdot 4a \ , \ \frac{1}{4} \cdot 2a \right ) \end{eqnarray*}$

Das ist letztendlich natürlich trotzdem nicht die richtige Umkehrabbildung. Aber immerhin ist die Abbildung dann richtig interpretiert. Und es ist doch nicht so schwer, die Umkehrabbildung aufzustellen. Nimm dir das Bild von (a,b,c) unter f und finde dann eine Abbildung, die das Bild von (a,b,c) dann genau wieder auf (a,b,c) "zurückschickt". Also

$\begin{eqnarray*} (2b,3c,4a) \mapsto (a,b,c) \end{eqnarray*}$

Das ist nur eine kleine Bastelei. Dein Versuch ging ja an sich wohl in die richtige Richtung.

Edit: Vielleicht irritieren dich auch einfach die Buchstaben, weil du hier feste Zahlenwerte mit Komponenteneinträgen durcheinander wirfst. Vielleicht fällt es dir leichter, wenn wir bei der Definition der Umkehrabbildung erstmal von den Buchstaben a,b,c wegrücken und es so schreiben:

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(x,y,z) = \left ( \frac{1}{2}y,\frac{1}{3}z ,\frac{1}{4}y \right) \end{eqnarray*}$

Und da kannst du dann für x,y,z natürlich wieder a,b,c als feste Werte einsetzen, wenn du willst. Aber so kommst du vielleicht eher auf die richtige Umkehrabbildung.

23.05.2011, 18:49

USC

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Danke! Jetzt hab ichs aber:

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(a,b,c) = \left (\frac{1}{4}c,\frac{1}{2}a ,\frac{1}{3}b \right) \end{eqnarray*}$

da

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(a,b,c)) = f^{-1}(2b,3c,4a) = \left ( \frac{1}{4} \cdot 4a \ , \ \frac{1}{2} \cdot 2b \ , \ \frac{1}{3} \cdot 3c \right )=(a,b,c) \end{eqnarray*}$

Wo ich aber immer noch Probleme habe ist die Surjektivität. Surjektiv bedeutet doch, dass jeder Y-Wert mindestens einmal angenommen wird, ich versteh aber nicht wie ich das beweisen soll.

23.05.2011, 19:21

Mulder

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Ich dachte, mit der Surjektivität seist du durch!? Du musst doch nur für ein beliebiges Element aus der Bildmenge ein Urbild angeben (dann ist ja gezeigt, dass es eines gibt). Ich hatte dir doch

$\begin{eqnarray*} (x,y,z) \end{eqnarray*}$

als ein beliebiges Element vorgegeben und du hattest das hier geschrieben:

Zitat:

Original von USC
Daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} b = \frac{x}{2} , c = \frac{y}{3} , a =\frac{z}{4} \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

Passt doch. Für $\begin{eqnarray*} (x,y,z) \in \mathbb R \times \mathbb R \times \mathbb R \end{eqnarray*}$ beliebig ist ein Urbild gegeben durch

$\begin{eqnarray*} \left ( \frac{z}{4}, \frac{x}{2} , \frac{y}{3} \right ) \end{eqnarray*}$ , denn es ist

$\begin{eqnarray*} f \left ( \frac{z}{4}, \frac{x}{2} , \frac{y}{3} \right ) = (x,y,z) \end{eqnarray*}$

Die Umkehrabbildung passt jetzt auch, ja.

23.05.2011, 20:04

USC

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Vielen Dank für deine Hilfe!!! smile

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