halbvollständige induktion

23.05.2011, 16:19	fleurita	Auf diesen Beitrag antworten »
halbvollständige induktion Meine Frage: hai ihr! wir haben folgende aufgabe gestellt bekommen: sind $\begin{eqnarray} A,B \in Mat(nxn,\mathbb C) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} AB=BA \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} j \in \mathbb N \end{eqnarray}$ . Dann gilt dies: $\begin{eqnarray} (A+B)^j=\sum\limits_{k=0}^j\frac{j!A^kB^{j-k}}{k!(j-k)!} \end{eqnarray}$ Meine Ideen:* ich habs mit vollständiger induktion probiert: I.A.: für n=0 $\begin{eqnarray} (A+B)^0=\frac{0!A^0B^{0-0}}{0!(0-0)!} \Leftrightarrow E_n=E_n \end{eqnarray}$ stimmt es. I.S.: $\begin{eqnarray} (A+B)^{j+1}=\sum\limits_{k=0}^{j+1}\frac{(j+1)!A^kB^{j+1-k}}{k!(j+1-k)!}\Leftrightarrow<br /> <br /> (A+B)^{j}(A+B)=(A+B)^j+\frac{(j+1)!A^{j+1}B^{j+1-j-1}}{(j+1)!(j+1-j-1)!} <br /> <br /> <br /> \Leftrightarrow (A+B)^{j}(A+B)=(A+B)^j+A^{j+1} \end{eqnarray*}$ und weiter komm ich nicht. Kann man noch irgwas umformen damit beide seiten der gleichung übereinstimmen? viele danke für hilfe! lg fleurita
23.05.2011, 21:22	fleurita	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: halbvollständige induktion niemand lust mir zu helfen?
23.05.2011, 21:57	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
An deiner Stelle würde ich die übliche Kurzschreibweise $\begin{eqnarray} \frac{n!}{k!(n-k)!}=\binom{n}{k} \end{eqnarray}$ verwenden und, weitaus wichtiger, auf diese Art von "Äquivalenzpfeilbeweis" verzichten. Es ist eine Gleichheit zu zeigen, was spricht dagegen, dies direkt zu tun? Davon abgesehen, ist dieser Beweis quasi ein Klassiker. Er findet sich bestimmt hier Forum, ganz sicher findet er sich aber auch dort: http://de.wikibooks.org/wiki/Beweisarchi...ischer_Lehrsatz Dort wird er für kommutative Ringe bewiesen - natürlich ist der Matrixring nicht kommutativ. Daher musst du beachten, wo die Voraussetzung, dass A und B vertauschen, eingeht. Im Speziellen ist hier deine Umformung nicht nachvollziehbar. Wie soll $\begin{eqnarray} j \end{eqnarray}$ , das ja der Laufindex der Summe ist, ohne Summenzeichen noch auftauchen? Die Gleichheit $\begin{eqnarray} (A+B)(A+B)^j = (A+B)^j + A^{j+1} \end{eqnarray}$ möchte ich auch eher anzweifeln... PS: Alle Helfer sind hier freiwillig und helfen, wenn sie können und wollen. Im Regelfall muss man hier nicht lange auf Hilfe warten. Falls doch, kann es nicht schaden, sich in Geduld zu üben, anstatt zu drängeln. Edit: Falls du dies noch nicht getan hast, möchte ich dich noch bitten, Prinzip "Mathe online verstehen!" zu lesen.
23.05.2011, 22:54	fleurita	Auf diesen Beitrag antworten »
hey vielen dank! Tut mir leid, ist erst mein dritter tag in diesem forum den beweis hab ich jetz verstanden, aber hab noch eine frage: warum darf ich die ist-äquivalent-zu-pfeile nit benutzen? lg fleurita

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