Maximales Volumen für eine quadratische Pyramide

24.06.2004, 16:36

peter87

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Maximales Volumen für eine quadratische Pyramide

hallo!

ich habe ein problem mit folgender aufgabe:

Zitat:

Gegeben sind 4 holzpfähle zu je 5 Metern, die zu einer geraden, quadratischen Pyramide angeordnet werden. Wie muss die Höhe h gewählt werden, damit das Volumen maximal ist?

http://mathe-formeln.de/Mathe-Bilder-3D/pyramide.gif

Mein Ansatz:
Zielfunktion = Volumen der Pyramide =>
$\begin{align*} V = \frac{1}{3}a^2h \end{align*}$

Meine Nebenbedingung ist der Satz des Pythagoras:
$\begin{align*} (a\sqrt{2})^2 + h^2 = 5^2 \end{align*}$

das ganze habe ich dann nach a umgestellt und in die Zielfunktion eingesetzt und folgendes erhalten:

$\begin{align*} V(h) = \frac{1}{3}h \sqrt{\frac{25}{2} - \frac{h^2}{2}} ^2 \end{align*}$

stimmt es soweit?

jetzt kommt nämlich mein problem, ich weiß nicht, wie ich die wurzel wegbekomme. einfach das quadrat und die wurzel wegstreichen funktioniert denke ich mal nicht.
deswegen habe ich es mit der binomischen form versucht und dann folgendes NUR für die aufgelöste wurzel erhalten:
$\begin{align*} \frac{25}{2} - 5h + \frac{h^2}{2} \end{align*}$

damit habe ich dann weiter gerechnet und die erste ableitung gemacht und diese gleich null gesetzt, um das maximum zu erhalten.
letztendlich habe ich dann für die höhe $\begin{align*} 0,56 \end{align*}$ erhalten, was ich für nicht realistisch halte, deswegen glaube ich, dass ich das mit der wurzel falsch gemacht habe.

wäre schön, wenn mir jemand sagen kann, wie man die wurzel am einfachsten wegbekommt und wo mein fehler liegt Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.06.2004, 16:48

tomtofly

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Also eigentlich müsste das Quadrat schon die Wurzel aufheben, oder? glaub schon.
z.B. $\begin{align*} \sqrt{2}^2 = 2 \end{align*}$

Das Quadrieren ist ja die Gegenoperation zur Quadratwurzel!

24.06.2004, 16:54

Poff

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RE: Maximales Volumen für eine quadratische Pyramide
Mit deiner Nebenbedingung komm ich nicht klar ...
denke auch dass sie nicht stimmt.

Zur Sicherheit nochmal frage,
wo und was sollen dabei diese Holzpfähle sein ?
(Die hochlaufenden 4 Seitenkannten ?)

.

24.06.2004, 17:16

Gnu

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Wenn die 4 Pfähle die Eckstreben sind musst Du ja von einem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck ausgehen, und dann muss der Pytaghoras so angesetzt werden:

$\begin{align*} (\frac {a} {2} * \sqrt {2})^2 + h^2 = 5^2 \end{align*}$

24.06.2004, 17:22

peter87

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argh, ja, natürlich
es müssen a/2 sein, da es ja nur die hälfte der strecke ist.
aber an meinem eigentlichen problem ändert das ja nichts Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Zitat:

Also eigentlich müsste das Quadrat schon die Wurzel aufheben, oder? glaub schon.

in deinem fall, ist es ja eine multiplikation, bei mir eine addition, deswegen bin ich mir da nicht sicher.

also wie muss ich das mit der wurzel machen?

24.06.2004, 17:26

Gnu

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Kommt darauf an, es ist nicht ganz eindeutig ausgedrückt von Dir:

Falls $\begin{align*} V(h) = \frac{1}{3}h \sqrt{\frac{25}{2} - \frac{h^2}{2}} ^2 = \frac{1}{3}h \sqrt{(\frac{25}{2} - \frac{h^2}{2})^2} \end{align*}$ dann hebt die Wurzel das Quadrat auf und des in der Klammer bleibt übrig.

Ansonsten wirds kniffliger...

Ferner würd mich mal die Herleitung Deiner vollständigen Funktion erklären, Haupt- und Nebenfunktion kann ich noch verstehen aber ich würd gern wissen was Du bei der Nebenfunktion rauskriegst...nur damit wir nicht mit falschen Werten weiterrechnen....

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24.06.2004, 17:52

peter87

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ok, hier die vollständige rechnung:

Zielfkt.: $\begin{align*} V = \frac{1}{3}a^2h \end{align*}$

Nebenbed.: $\begin{align*} (\frac{a}{2}*\sqrt{2} )^2 + h^2 = 5^2 \end{align*}$
$\begin{align*} \frac{a^2}{2} + h^2 = 25 \end{align*}$
$\begin{align*} \frac{a^2}{2} = 25 - h^2 \end{align*}$
$\begin{align*} a = \sqrt{50 - 2*h^2} \end{align*}$

a eingesetzt in zielfunktion:

$\begin{align*} V(h)= \frac{1}{3} * h * \sqrt{50 - 2h^2} \end{align*}$

24.06.2004, 17:53

peter87

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die letzte zeilte stimmt NICHT.
die gesamte wurzel muss noch quadriert werden!

24.06.2004, 18:02

Gnu

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Du brauchst doch in der Hauptfunktion sowieso a², und a² hast Du auch beim zweiten Rechenschritt in der Nebenfunktion, Du brauchst es also nicht erst auf a radizieren und dann wieder auf a² quadrieren.

24.06.2004, 18:02

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von peter87
die letzte zeilte stimmt NICHT.
die gesamte wurzel muss noch quadriert werden!

Wenn du eine Wurzel quadriert, dann hebt sich das auf! D.h. du kannst sowohl Wurzel als auch Quadrat weglassen.

24.06.2004, 18:12

peter87

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stimmt, gnu, äußerst dumm von mir ^^

ansonsten danke an alle smile

smile

ich habe jetzt 2,88 heraus bekommen, das klingt schon wesentlich plausibler, hehe

24.06.2004, 18:15

plötz

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Also in meinen Augen bekommt man in der Nebenbeding für a:

$\begin{align*} a= \sqrt{\frac{25}{2} - \frac{h^2}{2} \end{align*}$

Das setzt man dann in die Hauptbedingung ein:

$\begin{align*} V(h)= \frac{1}{3} * h \sqrt{\frac{25}{2} - \frac{h^2}{2}}^2 \end{align*}$

Dann geht die Wurzel weg durch das Quadrieren:

$\begin{align*} V(h)= \frac{1}{3} * h *\(\frac{25}{2} - \frac{h^2}{2}\) \end{align*}$

Nachdem man das ausmultipliziert hat:

$\begin{align*} V(h)= 4\frac{1}{6} * h - \frac{1}{6} h^3 \end{align*}$

Das Ganze dann ableiten, Null setzen, nach 'h' umstellen und die Höhe für das Maximalvolumen ablesen...

Falsch oder Richtig?

24.06.2004, 18:19

Gnu

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Ich hab wiegesagt was anderes raus, meine Lösung geht mit der von Peter konform...

Wenn Du mir sagst wie Du auf des a kommst....

24.06.2004, 18:32

peter 87

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Zitat:

Original von plötz
Also in meinen Augen bekommt man in der Nebenbeding für a:

$\begin{align*} a= \sqrt{\frac{25}{2} - \frac{h^2}{2} \end{align*}$

den fehler hab ich oben doch auch gemacht.
es müssen a HALBE sein, da die es ja nur die HALBE diagonale ist, die in den pythagoras mit ein geht Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.06.2004, 18:37

plötz

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$\begin{align*} \(\frac{a}{2}\ * \sqrt{2})^2 + h^2 = 5^2 \end{align*}$

Das ist die Bedingung.

Ausmultipliziert kommt da:

$\begin{align*} \frac{1}{2} * a^2 + h^2 = 25 \end{align*}$

heraus.

So, und nun habe ich meinen Fehler gefunden. :P Ich habe anstatt mit 2 zu multiplizieren mit 1/2 multipliziert.

Dann ist mein a:

$\begin{align*} a = \sqrt{50 - 2*h^2} \end{align*}$

Wie eures!

Folglich:

$\begin{align*} V = \frac{1}{3} * h * \(50 - 2*h^2\) \end{align*}$

....

Ergebnis: 2,88

So ein blöder Fehler! Naja, nun habe ich es...

24.06.2004, 18:51

peter87

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hehe, ging mir vorhin auch so ^^

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