V= ker f (direkte Summe) im f

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Buef Auf diesen Beitrag antworten »
V= ker f (direkte Summe) im f
Sei V ein K-Vektorraum und ein Endomorphismus mit . Zeigen Sie:

Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Wie wärs mit eigenen Ideen die Du erst einmal Vorstellst?
Buef Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab leider keine
einen ansatz könnte mich sehr weiter bringen. es fehlt eigentlich echt nur an einem ansatz
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst doch sicher die direkte Summe von Kern und Bildbereich von f? Oder was ist ?
Buef Auf diesen Beitrag antworten »

ja ganz genau!
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Bildbereich und Kern bilden jeweils UVR von V. Du willst zeigen das für alle eine Darstellung existiert. Da f = f² sind sowohl ImF = ImF² und KerF = KerF². Reicht dir das schon?
 
 
Buef Auf diesen Beitrag antworten »

hast du nicht vergessen, dass der bild und kern geschnitten 0 ergeben muss...das bedeutet doch direkte summe oder nicht?

jedoch hat mir das nicht wirklich weiter geholfen, da es ja nur eine präzisere aufgabenstellung ist.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Oft reicht es schon wenn man es genau aufschreibt um den Weg zu sehn. Und richtig Bildbereich und Kern haben natürlich nur die 0 gemeinsam, weil der die Elemente des Kerns halt genau auf die Null abgebildet werden und der Rest auf alles was im Bild liegt.
So dann wählen wir uns doch mal

dann ist mit Sicherheit auch

Betrachte

Die Bilder unter f sind schonmal Teilmengen von V, also kannste schonmal sagen



Zu zeigen wäre noch das . So und da benutzen wir jetzt f = f². Sei also dann...

edit: Den Mist mit der Teilmenge entfernt ...
Buef Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mazze
Oft reicht es schon wenn man es genau aufschreibt um den Weg zu sehn. Und richtig Bildbereich und Kern haben natürlich nur die 0 gemeinsam, weil der die Elemente des Kerns halt genau auf die Null abgebildet werden und der Rest auf alles was im Bild liegt.
So dann wählen wir uns doch mal

dann ist mit Sicherheit auch

Betrachte

Die Bilder unter f sind schonmal Teilmengen von V, also kannste schonmal sagen



Zu zeigen wäre noch das . So und da benutzen wir jetzt f = f². Sei also dann...

edit: Den Mist mit der Teilmenge entfernt ...


Also zum verständnis:

Du hast dir also ein Element aus dem Kern und dem Bildbereich gewählt und hast f drauf angewendet. Da das Element des Kerns also f(v) = 0 ist, wird f(w) irgendwo in V abgebildet, oder?
Jetzt muss ein v in V gewählt werden, welches durch Elemente des Kerns und des Bildbereiches dargestellt werden kann?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Jetzt muss ein v in V gewählt werden, welches durch Elemente des Kerns und des Bildbereiches dargestellt werden kann?


Ganz genau.
Buef Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm also irgendwo ist da noch der Wurm drin unglücklich
Wie kann ich den mein v aus V wählen, sodass es vom kern und Bild von f dargestellt werden kann ?
Oder reicht es zu sagen, dass die 0 Element vom Kern, Bild und auch von V ist und daher wäre es gezeigt ?
Buef Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Oder reicht es zu sagen, dass die 0 Element vom Kern, Bild und auch von V ist und daher wäre es gezeigt ?



Wenn das stimmt könnt ihr das ruhig sagen dann bin ich beruhigt Big Laugh
SilverBullet Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm sitz an dem selben Problem hoffe es kommt noch jmd in den Threat hier...

Soweit ich verstanden habe gilt doch bei einem Homomorphismus f:V -> W




Und allein daraus lässt sich doch sagen, dass es ein v aus V geben muss welches durch im f dargestellt werden kann.

Korrigiert mich bitte wenn es nicht stimmt ^^
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Und allein daraus lässt sich doch sagen, dass es ein v aus V geben muss welches durch im f dargestellt werden kann.


Die Sache ist dann das Du impliziet forderst das f surjektiv ist. Und darüber hast Du keine Aussage, es könnte sich ja um ein v aus V handeln das nicht in imF liegt.
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn Du für den Homomorphismus das Bild so definiert hast:



ist sichergestellt, dass , aber nicht zwangsläufig

...

EDIT: Laaaate...
SilverBullet Auf diesen Beitrag antworten »

Ja schon aber darauf wollte ich hinaus da :

Zitat:
Original von Mazze
Oft reicht es schon wenn man es genau aufschreibt um den Weg zu sehn. Und richtig Bildbereich und Kern haben natürlich nur die 0 gemeinsam, weil der die Elemente des Kerns halt genau auf die Null abgebildet werden und der Rest auf alles was im Bild liegt.
So dann wählen wir uns doch mal

dann ist mit Sicherheit auch

Betrachte

Die Bilder unter f sind schonmal Teilmengen von V, also kannste schonmal sagen



Zu zeigen wäre noch das . So und da benutzen wir jetzt f = f². Sei also dann...

edit: Den Mist mit der Teilmenge entfernt ...




Jetzt muss doch gezeigt werden, dass es ein v in V gibt welches durch den Kern und das Bild von f gebildet werden kann.
Und laut definition muss es mindestens solch eines geben sodass gilt :



Und damit wär die Beh. doch gezeigt... Oder hab ich da nen Brett vorm Kopf ?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst aus der Existenz von einem v aus V nicht schließen das es für alle v aus V gilt. Vielmehr musst Du zeigen das jedes v in V so eine Darstellung besitzt, wenn man das natürlich für ein allgemeines v macht ist es das ja.
SilverBullet Auf diesen Beitrag antworten »

Wie sieht es denn hiermit aus ? Wenn ich zeige, dass im geschnitten kern nur die 0 gemeinsam hat dann ist die Aufgabe doch erfüllt :

Sei v € Kern(f) geschnitten Im(f).

Dann gilt f(v) = 0 und es gibt ein w € V mit v = f(w).

Folglich ist 0 = f(v) = f(f(w)), d.h. w € Kern(f²).

Dann ist aber auch w € Kern(f), also v = f(w) = 0.

Damit haben wir Kern(f) geschnitten Im(f) = {0} gezeigt.
(denn sicher gilt 0 € Kern(f) und 0 € Im(f))
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Gute Frage, als Vorrausetzung für die direkte Summe soll ja der Schnitt nur die Null enthalten. Das heißt wir können die direkte Summe von KerF und ImF bilden. Die Frage ist halt trotzdem ob diese Menge dann gleich dem V ist. Aber vielleicht sehe ich das gerade daraus nicht.
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