endl. Zerfällungskörper

24.05.2011, 01:29

tigerbine

endl. Zerfällungskörper

$\begin{eqnarray*} \mathbb F_9 \end{eqnarray*}$ soll der Zerfällungskörper von $\begin{eqnarray*} x^9-x \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb F_3 \end{eqnarray*}$ sein. Nun steht da

$\begin{eqnarray*} x^9-x=x(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^2+x-1)(x^2-x-1) \end{eqnarray*}$ (*)

und die quadratischen Polynome sind irreduzibel über $\begin{eqnarray*} \mathbb F_3 \end{eqnarray*}$ . Den Sinn habe ich nun nicht verstanden. Zerfällungskörper bedeutet doch, dass das Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Wenn wir so ein quadratisches irred. Polynom nehmen, so ist das ein Minimalpolynom einer seiner Nullstellen.Dann ist für $\begin{eqnarray*} L:=\mathbb F_3/(x^2+1)\mathbb F_3[x] \end{eqnarray*}$ die Körpererweiterung hat den Grad 2. Daher gilt |L|=3² und L ist isomorph zu $\begin{eqnarray*} \mathbb F_9 \end{eqnarray*}$ .

Diente (*) also für die Darstellung $\begin{eqnarray*} \mathbb F_9 \cong \mathbb F_3/(x^2+1)\mathbb F_3[x] \end{eqnarray*}$ und nicht zur "Zerfällung"?

24.05.2011, 14:47

juffo-wup

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Dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_9 \end{eqnarray*}$ der Zerfällungskörper von $\begin{eqnarray*} x^2+1 \end{eqnarray*}$ ist, stimmt, aber das hält ihn ja nicht davon ab, gleichzeitig noch der Zerfällungskörper von $\begin{eqnarray*} x^9-x \end{eqnarray*}$ zu sein. Meist konstruiert man die Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_{p^k} \end{eqnarray*}$ als Zerfällungskörper von $\begin{eqnarray*} x^{p^k}-x \end{eqnarray*}$

Was meinst du damit, dass du den Sinn nicht verstehst? Verstehst du nicht, warum die Produktdarstellung von $\begin{eqnarray*} x^9-x \end{eqnarray*}$ gilt?

24.05.2011, 14:57

tigerbine

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Was ich nicht verstehe: Man leitet mit "Zerfällungskörper" ein, dann kommt aber keine Zerlegung in Linearfaktoren sondern in irreduzible Polynome über $\begin{eqnarray*} \mathbb F_3 \end{eqnarray*}$ .

24.05.2011, 15:02

juffo-wup

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Naja, das ist die Zerlegung in irreduzible Faktoren über $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_3. \end{eqnarray*}$
Über $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_9 \end{eqnarray*}$ zerfällt das Polynom in Linearfaktoren.

24.05.2011, 15:03

tigerbine

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Ja, nur dann hätte man ja nicht mit Zerfälungskörper einleiten müssen. Geht es, wie weiter beschrieben darum,

Zitat:

Diente (*) also für die Darstellung $\begin{eqnarray*} \mathbb F_9 \cong \mathbb F_3/(x^2+1)\mathbb F_3[x] \end{eqnarray*}$ und nicht zur "Zerfällung"?

24.05.2011, 15:24

juffo-wup

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Wozu das, was dasteht, dient, kann man nicht sagen ohne den Zusammenhang zu kennen.

24.05.2011, 15:29

tigerbine

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Stand in den Beispielen nach dem Kurzkapitel zu endlichen Körpern.

24.05.2011, 15:38

juffo-wup

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Dann war die Zerlegung wohl als bekannt vorausgesetzt und wurde genannt, damit man die Darstellung mit x^2+1 folgern kann, wie du zuerst vermutet hast.

24.05.2011, 15:43

tigerbine

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Ok, danke. Wink

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