reines Polynom

24.05.2011, 04:09

tigerbine

reines Polynom

Ich brüte gerade über der Frage, wann die Automoprphimsengruppe des Zerfällungskörpers von $\begin{eqnarray*} x^n-a \end{eqnarray*}$ zyklisch ist. Als Grundkörper nehmen wir mal Q. Als Voraussetzung wird genannt, dass man in Q eine Einheitswurzel der Ordnung n finden muss. Dann müßte das doch eine Einheitswurzel auf der "x-Achse" sein. Für a>0 fällt mir nur n=2 als Möglichkeit ein. Denn damit eine EW auf des neg. x-Achse liegt [und somit primitiv sein kann], muss n gerade sein. Die zum Winkel 360/n gehörige primitive EW sei w. Dann ist die auf der neg. x-Achse eine gerade Potenz von w. Der ggT von der Potenz und n muss 1 sein.

Wie sieht es für a<0 aus? verwirrt

Oder kann mit jemand reines Polynom nennen mit $\begin{eqnarray*} Aut(x^n-a|\mathbb Q)\cong C_n \end{eqnarray*}$ , n>2?

24.05.2011, 14:42

juffo-wup

Auf diesen Beitrag antworten »

Die einzigen reellen Zahlen, die als Einheitswurzeln vorkommen, sind 1 und -1. Das kann man daran sehen, dass die n-ten Einheitswurzeln genau die Zahlen $\begin{eqnarray*} e^{\frac{2\pi k i}{n}} \end{eqnarray*}$ sind für k=0,1,..,n-1. Der Imaginärteil ist $\begin{eqnarray*} \sin(\frac{2\pi k}{n}) \end{eqnarray*}$ und das wird nur Null, falls k/n gleich 1 oder 1/2 ist.

Warum der Zerfällungskörper von $\begin{eqnarray*} x^n-a \end{eqnarray*}$ über einem Körper K nicht zyklisch ist, wenn K nicht die n-ten Einheitswurzeln enthält, weiß ich im Moment auch nicht, aber für K=Q (bzw. allgemeiner char(K)=0 und K enthält nicht die n-ten EHW) lassen sich zumindest einige Möglichkeiten für n so ausschließen:

Der Körper der n-ten Einheitswurzeln E liegt im Zerfällungskörper und die Galoisgruppe von E/Q ist isomorph zu $\begin{eqnarray*} C_n^{\times}. \end{eqnarray*}$ Da Faktorgruppen zyklischer Gruppen zyklisch sind, muss diese Gruppe als Faktorgruppe der Galoisgruppe des Zerfällungskörpers zyklisch sein. Das ist nur für relativ wenige n der Fall (siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Zyklische_G...e_Eigenschaften ).

24.05.2011, 14:55

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke erst mal. Wo ich immer noch nicht klarer sehe ist für welche n ich bei K=Q dieses Lemma anwenden kann.

24.05.2011, 15:00

juffo-wup

Auf diesen Beitrag antworten »

Nur für n=1 oder n=2. Für n>2 gibt es mindestens 3 verschiedene n-te Einheitswurzeln und nicht alle davon können reell oder gar rational sein. Somit kann auch keine primitive n-te Einheitswurzel für n>2 in Q liegen.

24.05.2011, 15:02

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann stimmten meine Überlegungen ja. Das Lemma zeigt ja nur "wenn blabla ... dann zyklisch" aber erfaßt bei weitem nicht alle Fälle einer zyklischen Galoisgruppe. Kann ich mir das so "abspeichern"?

24.05.2011, 15:21

juffo-wup

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn der Grundkörper K die n-ten Einheitswurzeln enthält und die Erweiterung E/K zyklisch ist, dann kann man aber zeigen, dass E über K von einer n-ten Wurzel aus einem Element in K erzeugt ist (und somit Zerfällungskörper einer reinen Gleichung vom Grad n).
Wenn K die n-ten Einheitswurzeln nicht enthält, muss das nicht sein.

24.05.2011, 15:23

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Wenn der Grundkörper K die n-ten Einheitswurzeln enthält

Im Lemma steht "eine". Da diese nun aber in K ist und primitiv ist [ich alle anderen als Potenzen von ihr bekomme] müssen alle in K liegen?

24.05.2011, 15:24

juffo-wup

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von tigerbine
Im Lemma steht "eine". Da diese nun aber in K ist und primitiv ist [ich alle anderen als Potenzen von ihr bekomme] müssen alle in K liegen?

Ja.

24.05.2011, 15:27

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke.

Neue Frage »

Antworten »

reines Polynom

Verwandte Themen