Vektorraum

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24.05.2011, 10:27	Amelia	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorraum Meine Frage: Ich habe 3 Matrizen (A,B,C) des Types 4x4 gegeben und soll nun zeigen, dass die Spalten dieser Basis des seleben VR sind. Und danach V bestimmen. Meine Ideen: Welche BEdingungen muss ich zeigen? Was gilt dafür, dass sie den selben VR aufspannen? Wie bestimme ich V?
24.05.2011, 10:42	invenro	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Spalten der Matrix sind die Basisvektoren des $\begin{eqnarray} K^{4\times 1} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ ein Körper ist (reelle Zaheln, koplexe Zahlen,etc.) also ist dein Vektorraum die Hülle(=Menge aller Linearkombinationen) der Spalten! um zu zeigen dass die denselben VR. erzeugen kannst du entweder die Spaltenvektoren der Matrizen B und C also Linearkombination der Spalten der Matrix A darstellen oder du erzeugt mit elementaren Spaltenumformungen Matrizen in Stufenform...d.h. dass die Spalten l.u. sind somit spannen sie den Raum auf...da alle über dem selben Körper sind recht es also, wenn du alle in Stufenform bringt...wenn nun jede Matrix gleich viele l.u. Spalten hat, erzeugen die Matrizen den selben Raum. ich hoffe das war ein wenig hilfreich!
24.05.2011, 10:51	Amelia	Auf diesen Beitrag antworten »
Also danke für deine Hilfe. Nocheinmal bitte. Einfacher wäre also jetzt einfach mit den Spaltenvektoren von B und C die von A zu machen?? Aber wie genau jetz? die erste Spalte von A mit den ersten Spalten von je B und C erstellen?!? Danke für deine Hilfe.# Habe einige Einstiegsprobleme....
24.05.2011, 11:03	invenro	Auf diesen Beitrag antworten »
moment... also jede matrix erzeugt mir ihren 4 spalten einen raum...so...und wenn du es schaffst jeder spalten der matrix B und C also linearkombination der spalten von A zu schreiben erzeugen die drei matrizen den selbsen raumm...is aber u.u. nicht so leicht (du musst vl. ein 4 mal 4 LGS lösen...!!!)) einfacher is es mit spaltenumformungen...
24.05.2011, 11:06	Amelia	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm...okay und wie ging dann die andere methode? entschuldige bitte dass ich dich so oft frage. Aber ich wüürde das gerne schaffe, desweegen habe ich die matrizen auch nicht aufgeschrieben, damit ich das ganz allein löse ) l.u. = links unten? muss ich links unten eine untere dreiecksmatrix machen!??!?! und danach?!
24.05.2011, 12:06	invenro	Auf diesen Beitrag antworten »
nene...l.u. heißt lienear unabhängig... also du machst aus allen matrizen eine obere dreiecksmatrix, sodass unterhalb jeder hauptdiagonale nur nullen stehn...(mit elementaren spaltenumformungen) wenn das bei allen klappt spannen die spaltenvektoren jeder matrix den selben raum auf... sollte iregendeine matrix nicht in eine obere dreickesmatrix umzuformen sein melde dich nochmals... P.S.: wenn du alle in eine obere dreiecksmatrix umgewandelt hast kann man auch leicht die linearkombinationen (von vorher) hinschreiben, sodass du wirklich siehst dass die spalten der matrizen den selben raum aufspannen....(aber zuerst alle matrizen in form bringen
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24.05.2011, 12:32	Amelia	Auf diesen Beitrag antworten »
okay also das klappt...alle haben unter der hauptdiagonalen Nullen.... das ist schon alles? mehr muss ich dazu nicht schrieben? warum gilt denn jetzt, dass sie denselben Raum aufspannen.. DAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAANKE danke dankee )
24.05.2011, 12:42	Amelia	Auf diesen Beitrag antworten »
darf ich auch spalten vertauschen???
24.05.2011, 12:56	invenro	Auf diesen Beitrag antworten »
jaja...spalten darfst du vertauschen !!! sodalla... Die spalten jeder Matrix spannen einen Raum auf...d.h. die Spalten jeder Matrix sind eine Basis, um zu zeigen dass die Basen(die Spalten der Matrizen) den selben raum aufspannen, also dass die matrix A den selben raum aufspannt wie die matrix B und dass die matrix C auch den selben raum aufspannt musst zu folgendes zeigen (oder sehen ): du nimmst dir z.b: die matrix A her und sagst...die spannt den raum auf...jt. musst du zeigen dass B und C den selben raum aufspannen und das geht so: jede spalte der matrizen B und C muss seine linearkombination der spalten von A sein. z.B. 1.Spalte von B= (-3)* 1.Spalte von A wennn das bei jeder spalten von B und C geht spannen die Basen(=Spaltenvektoren der Matrizen) den selben raum auf... hoffe es ist klar ?!
24.05.2011, 13:03	Amelia	Auf diesen Beitrag antworten »
jaaa schon danke aber bei einer matrix klaappts nicht $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
24.05.2011, 13:09	invenro	Auf diesen Beitrag antworten »
also du willst die matrix in stufenform?? also...di 3.spalte durch 2 dividiren... dann auf die 2.spalte die neue 3.spalte addieren.... dann auf die 4.spalte die 1.spalte addieren... der rest is glaub ich einfach...versuchs mal!!! sortieren kannst du die spalten ja eh sowieso nachher...
24.05.2011, 13:24	Amelia	Auf diesen Beitrag antworten »
ja das hab ich gemachr aber genau dann komm ich nicht mehr weiter (
24.05.2011, 13:28	invenro	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn du das so gemacht hast..dann die 2.spalte auf die 4. spalte addieren und dann die 4. spalte durch 2 div. dann die 4. spalte auf die 1.spalte addieren.. dann sorteiren und du hast eine schöne einheitsmatrix=obere & untere dreiecksmatrix!!!! also wenn du nur 1er in der diagonalen hast und sonst nuller bist du fertig p.s. ich hoffe ich habe mich jt. nicht in den spalten geirrt...wenn ja poste mal deine matrix
24.05.2011, 13:44	Amelia	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja also klappt iwie nicht ganz.... nach allen schritten von dir kommt das raus... wenn ich mich nicht iwo vertan habe $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ irgendwas mit transformation kann man hier nicht machen oder??!
24.05.2011, 13:48	invenro	Auf diesen Beitrag antworten »
okay...dann noch: zieh von der 4.spalte die 2 spalte ab...und von der 1.spalte musst du die 2 abziehen... danach...von der 1.spalte die 4. 2mal abziehen und sortieren und fertig!!!!
24.05.2011, 13:51	Amelia	Auf diesen Beitrag antworten »
aaaaaaaaaaaahh ich glaube ich habe es ))) zuerst das: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und Plätze vertauscht die: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ richtiiig???
24.05.2011, 13:59	invenro	Auf diesen Beitrag antworten »
nicht ganz...ich glaub wir reden ein wenig aneinander vorbei die 4. spalte sollte nur ganz unten ne 1 haben..also: 4.spalte minus 1 spalte 4.spalte minus 3 spalte und dann hast du nurmehr unten ne 2 also die 4te spalte durch 2 div. und dann hast du endlich die einheitsmatrix!!!
24.05.2011, 14:04	Amelia	Auf diesen Beitrag antworten »
okay hat geklappt abeeer dürfen in der ganzen matrix nur einsen und nullen sein? weil die anderen zwei hatte ich ja schon gemacht die A und B aber bei der A sind auch eine 4 und eine 2 bei....und -1 auch... ist das fatal???????
24.05.2011, 14:09	invenro	Auf diesen Beitrag antworten »
nein...also...die spalten sind ja eine basis...und jetzt hast du eine ganz besondere basis die kanonische!!! (ist nicht nur schön anzuschaun sondern auch schön zum rechnen...) so...und jetzt gibts 2 wege.... 1. entweder du bringst die andren matrizen auch auf diese form (das geht! selbes verfahren wie eben) oder 2. du nimmst jetzt einzeln die spalten der anderen matrizen und stellst sie als linearkombination der spalten der einheitsmatrix dar (geht u.u. schneller!!) und wenn das geht...spannen alle matrizen(bzw. die spalten der matrizen) den selben raum auf alles klaro ?!
24.05.2011, 14:33	Amelia	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraum ich bekomme das nicht hin...muss ich das für jede spalte von a ewinzeln machen? also dann 2erste spalte von B + 2erste spalte von C = 1.spalte v. A ?? A = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 4 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ B = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ C = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
24.05.2011, 14:47	invenro	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraum achh..nicht so kompliziert... also jede matrix spannt einen raum auf....genauer...die spalten der matrix spannen einen raum auf... du sollst zeigen: die drei matrizen spannen den selben raum auf! also du hast dich für die 2. variante enschieden die geht z.b so: die matrix C ist die 'schönste' also sagen wir...die spalten der matrix C spannen einen raum auf und zeigen, dass die spalten der matrix A udn die spalten der matrix B denselben raum aufspannen, das geht so: 1.Spalte von B=1* 1.Spalte von C 2.Spalte von B= 1* 1.Spalte von C+12.Spalte von C ...usw für alle spalten von B und für A dasselbe: 1.Spalte von A=41.Spalte von C 2.Spalte von A=(-1)1.Spalte von C+(-1)2.Spalte von C 3.SPalte von A=11.SPalte von C+(-1)2.Spalte von C+2*3.Spalte von C ...usw für alle spalten von A d.h. die stellst die spalten(=basisvektoren) der matrizen A und B als linearkombination der Spalten(=basisvektoren) von C dar, somit spannen sie den selben raum auf...!! bisschen theorie: die spalten der matrix C sind eine Basis d.h. sie spannen den raum R^4 auf d.h. jeder Vektor aus R^4 lässt sich als linearkombination der spalten von C darstellen...so auch die spalten von A und B und somit spannen alle matrizen den selben raum auf! und elementare spaltenumformungen ändern nichts am raum, d.h. du kannst elementare spaltenumformunge machen und es wird der selbe raum dargestellt!! p.s. die matrix B( so wie du sie hier hast) kannst du auch leicht in eine einheitsmatrix umformen: 4.spalte -3.spate 3.spalte-2.spalte 2.spalte-1.spalte fertig
25.05.2011, 21:34	Amelia	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich bin jetz immer noch verwirt....kann mir jmd nur sagen wie ich das aufschreiben könnte. Formal richtig.. ich habe jetzt die matrizen in stufenform. WIe schreibe ich das jetzt auf. Was bringt mir diese Stufenmatrix weil eigentlich müsste ich doch jetzt damit weiterarbeiten...
25.05.2011, 23:31	Amelia	Auf diesen Beitrag antworten »
hat jmd eine ahnung wie ich die basiswechselmatrizen zu diesen matrizen berechne ?? bitte um dringende HIlfe... den anderen Teil habe ich jetzt geschafft...

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