Laser, Dichte- und Verteilungsfunktion

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Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
Laser, Dichte- und Verteilungsfunktion
Meine Frage:
Ein Laser wird im Abstand h > 0 von der x-Achse auf der y-Achse so montiert, dass sein Strahl die
x-Achse trifft. Der Winkel zwischen Laserstrahl und y-Achse wird ganz zufallig gewahlt, und zwar
so dass er auf gleichverteilt ist. Welche Verteilung hat der Punkt X der x-Achse, den der
Laserstrahl tri t? Bestimmen Sie Dichte und Verteilungsfunktion von X.

Meine Ideen:
Könnt ihr mir bitte helfen?
Ich habe leider noch keine Ideen.
dinzeoo Auf diesen Beitrag antworten »

wie ist die gleichverteilung definiert?
welche punkte kann er überhaupt alles treffen wenn der laser den abstand h hat?
vorallem was ist der grösste und kleinste punkt den er treffen kann?
trifft er immer garantiert die x-achse?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von dinzeoo
wie ist die gleichverteilung definiert?
welche punkte kann er überhaupt alles treffen wenn der laser den abstand h hat?
vorallem was ist der grösste und kleinste punkt den er treffen kann?
trifft er immer garantiert die x-achse?



Hier ist doch gemeint, dass die Winkel gleichverteilt sind - oder?
Also alle winkel zwischen -180 Grad und +180 Grad.

Das bedeutet, dass die W. für einen Winkel dann ist?


Hm, welche Punkte kann der Laser treffen, wenn er den Abstand h hat.
Das weiß ich nicht.. wie ermittelt man das?
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
Der Winkel zwischen Laserstrahl und y-Achse wird ganz zufallig gewahlt, und zwar
so dass er auf gleichverteilt ist.

Sicher, dass da nicht steht? Denn so, wie du das geschrieben hast, trifft der Laserstrahl in der Hälfte aller Fälle überhaupt nicht die x-Achse. unglücklich
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Da steht . aber da sich der Professor gerne mal verschreibt, muss es wohl so lauten, wie DU es sagst.


Das ändert leider nichts daran, dass mir die Aufgabe unklar ist.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
[quote]Original von dinzeoo
wie ist die gleichverteilung definiert?
welche punkte kann er überhaupt alles treffen wenn der laser den abstand h hat?
vorallem was ist der grösste und kleinste punkt den er treffen kann?
trifft er immer garantiert die x-achse?




Der Laser kann (in linker Richtung) alle Punkte von und treffen - oder? Bei -90 Grad trifft der Strahl die x-Achse ja nicht, bei allen Winkeln von 0 bis 89 Grad würde ich sagen schon.

Der Laser kann (in rechter Richtung) alle Punkte von bis treffen.

Stimmt das?---
 
 
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Warum nicht ?

Der Winkel hier ist gleichmäßig stetig verteilt, es gibt also keinen Grund, von einer diskreten Stückelung 0, 1, ... , 89 Grad auszugehen.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, stimmt!.. Das ist natürlich richtig.

Dann ist der "am weitesten entfernte Punkt" auf der x-Achse also

(in negativer Richtung):
(in positiver Richtung):


bzw. eben 89.99999 oder -89.99999 eben ganz dicht an der 90 dran, aber 90 Grad nicht mehr.


Wie kann ich jetzt weiter machen?
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Na was ist denn zu tun:

Zitat:
Original von Dennis2010
Welche Verteilung hat der Punkt X der x-Achse, den der
Laserstrahl trifft? Bestimmen Sie Dichte und Verteilungsfunktion von X.

Wie du (zumindest an den Beispielen) schon richtig festgestellt hast, gilt , wobei (Gleichverteilung) vorausgesetzt wird - ich geh jetzt mal von diesem veränderten Winkelbereich aus, du ja anscheinend auch. Daraus kannst du auf die Verteilungsfunktion von schließen:

.

Gleichheit klappt nur deswegen, weil just die streng monoton steigende Umkehrfunktion ist, die zu im Winkelbereich passt - allgemein ist an solchen Stellen der Winkelfunktionsumkehrung immer höchste Vorsicht geboten.

Was noch bleibt: Die Verteilungsfunktion der vorausgesetzten stetigen Gleichvorteilung von sollte bekannt sein. Einsetzen, fertig ist die Verteilungsfunktion von . Und die Dichte bekommst du abschlißend als Ableitung von .
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von René Gruber

Was noch bleibt: Die Verteilungsfunktion der vorausgesetzten stetigen Gleichvorteilung von sollte bekannt sein. Einsetzen, fertig ist die Verteilungsfunktion von . Und die Dichte bekommst du abschlißend als Ableitung von .



Wow, vielen Dank. Das verstehe ich sogar.

Meine Aufgabe ist es jetzt noch

herauszufinden. Dann weiß ich die gesuchte Verteilungsfunktion, aus der ich dann die Dichte berechnen kann.

Eine Frage dazu:

Du hattest geschrieben die Verteilungsfunktion von sollte bekannt sein.
Was meinst Du damit?


Edit:

Die Verteilungsfunktion einer stetigen Gleichverteilung auf dem Intervall [a,b] ist gegeben durch:

, falls
, falls
, falls


Meinst Du das?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Hm... den letzten Schritt bekomme ich nicht hin.

= ?....

verwirrt
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
Die Verteilungsfunktion einer stetigen Gleichverteilung auf dem Intervall [a,b] ist gegeben durch:

, falls
, falls
, falls

Meinst Du das?

Genau das, natürlich für
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Also:

, falls

, falls

, falls

?
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Wenn du dir allerdings mal den Wertebereich der arctan-Funktion anschauen würdest, müsstest du sehen, dass der erste und letzte Fall gar nicht eintreten können. Augenzwinkern
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Verteilungsfunktion ist also gegeben durch

.


Die Dichtefunktion ist die Ableitung hiervon, also gegeben durch

.



Ganz, ganz herzlichen Dank an Dich, René Gruber! Gott
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