Laser, Dichte- und Verteilungsfunktion |
24.05.2011, 12:18 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Laser, Dichte- und Verteilungsfunktion Ein Laser wird im Abstand h > 0 von der x-Achse auf der y-Achse so montiert, dass sein Strahl die x-Achse trifft. Der Winkel zwischen Laserstrahl und y-Achse wird ganz zufallig gewahlt, und zwar so dass er auf gleichverteilt ist. Welche Verteilung hat der Punkt X der x-Achse, den der Laserstrahl trit? Bestimmen Sie Dichte und Verteilungsfunktion von X. Meine Ideen: Könnt ihr mir bitte helfen? Ich habe leider noch keine Ideen. |
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24.05.2011, 12:32 | dinzeoo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wie ist die gleichverteilung definiert? welche punkte kann er überhaupt alles treffen wenn der laser den abstand h hat? vorallem was ist der grösste und kleinste punkt den er treffen kann? trifft er immer garantiert die x-achse? |
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24.05.2011, 14:04 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hier ist doch gemeint, dass die Winkel gleichverteilt sind - oder? Also alle winkel zwischen -180 Grad und +180 Grad. Das bedeutet, dass die W. für einen Winkel dann ist? Hm, welche Punkte kann der Laser treffen, wenn er den Abstand h hat. Das weiß ich nicht.. wie ermittelt man das? |
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24.05.2011, 14:14 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sicher, dass da nicht steht? Denn so, wie du das geschrieben hast, trifft der Laserstrahl in der Hälfte aller Fälle überhaupt nicht die x-Achse. |
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24.05.2011, 14:21 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da steht . aber da sich der Professor gerne mal verschreibt, muss es wohl so lauten, wie DU es sagst. Das ändert leider nichts daran, dass mir die Aufgabe unklar ist. |
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24.05.2011, 15:17 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Laser kann (in linker Richtung) alle Punkte von und treffen - oder? Bei -90 Grad trifft der Strahl die x-Achse ja nicht, bei allen Winkeln von 0 bis 89 Grad würde ich sagen schon. Der Laser kann (in rechter Richtung) alle Punkte von bis treffen. Stimmt das?--- |
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24.05.2011, 15:25 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Warum nicht ? Der Winkel hier ist gleichmäßig stetig verteilt, es gibt also keinen Grund, von einer diskreten Stückelung 0, 1, ... , 89 Grad auszugehen. |
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24.05.2011, 15:31 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, stimmt!.. Das ist natürlich richtig. Dann ist der "am weitesten entfernte Punkt" auf der x-Achse also (in negativer Richtung): (in positiver Richtung): bzw. eben 89.99999 oder -89.99999 eben ganz dicht an der 90 dran, aber 90 Grad nicht mehr. Wie kann ich jetzt weiter machen? |
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24.05.2011, 16:00 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Na was ist denn zu tun:
Wie du (zumindest an den Beispielen) schon richtig festgestellt hast, gilt , wobei (Gleichverteilung) vorausgesetzt wird - ich geh jetzt mal von diesem veränderten Winkelbereich aus, du ja anscheinend auch. Daraus kannst du auf die Verteilungsfunktion von schließen: . Gleichheit klappt nur deswegen, weil just die streng monoton steigende Umkehrfunktion ist, die zu im Winkelbereich passt - allgemein ist an solchen Stellen der Winkelfunktionsumkehrung immer höchste Vorsicht geboten. Was noch bleibt: Die Verteilungsfunktion der vorausgesetzten stetigen Gleichvorteilung von sollte bekannt sein. Einsetzen, fertig ist die Verteilungsfunktion von . Und die Dichte bekommst du abschlißend als Ableitung von . |
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24.05.2011, 16:20 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wow, vielen Dank. Das verstehe ich sogar. Meine Aufgabe ist es jetzt noch herauszufinden. Dann weiß ich die gesuchte Verteilungsfunktion, aus der ich dann die Dichte berechnen kann. Eine Frage dazu: Du hattest geschrieben die Verteilungsfunktion von sollte bekannt sein. Was meinst Du damit? Edit: Die Verteilungsfunktion einer stetigen Gleichverteilung auf dem Intervall [a,b] ist gegeben durch: , falls , falls , falls Meinst Du das? |
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24.05.2011, 18:25 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hm... den letzten Schritt bekomme ich nicht hin. = ?.... |
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24.05.2011, 18:59 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau das, natürlich für |
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24.05.2011, 19:20 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also: , falls , falls , falls ? |
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24.05.2011, 20:57 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja. Wenn du dir allerdings mal den Wertebereich der arctan-Funktion anschauen würdest, müsstest du sehen, dass der erste und letzte Fall gar nicht eintreten können. |
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25.05.2011, 11:48 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Verteilungsfunktion ist also gegeben durch . Die Dichtefunktion ist die Ableitung hiervon, also gegeben durch . Ganz, ganz herzlichen Dank an Dich, René Gruber! |
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