Modulo Aussagen |
| 24.05.2011, 16:58 | darbo47 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Modulo Aussagen m,n,d natürliche Zahlen bis auf die 1, a und b ganze Zahlen. a) Beweise: wenn a kongruent b mod m und d teilt m, dann a kongruent b mod d. b) Beweise: Gilt ggT(m,n)=1, a kongruent b mod m und a kongruent b mod n, dann auch a kongruent b mod m*n |
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| 24.05.2011, 21:00 | carlf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Modulo Aussagen Hi darbo47, für a) hilft es, erstmal die Definitionen für "a kongruent b mod m" und "d teilt m" aufzuschreiben, in Formeln. Dann sollte schnell klar werden, warum (und "wie") a und b auch modulo d kongruent sind. Für b) tust du das am besten auch erstmal, anhand der Gleichungen könntest du dann auch schon notwendige Bedingungen erkennen. Und du musst dir überlegen, wo die Bedingung ggT(n, m) = 1 eingehen kann. |
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| 25.05.2011, 09:58 | darbo47 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Modulo Aussagen zur a) a kongruent b mod m kann doch auch als m teilt a-b geschrieben werden. d teilt m bedeutet, dass gilt: d*x=b zur b) ggT(n,m) heißt n und m sind teilerfremd. a kongruent b mod m kann wieder als m teilt a-b geschrieben werden, a kongruent b mod n dementsprechend als n teilt a-b. Nur wie gehts weiter? |
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| 25.05.2011, 10:34 | carlf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Modulo Aussagen
Am besten erledigen wir erstmal die a). Genau. Was heißt jetzt noch m teilt a-b und was heißt dann weiter a kongruent b modulo d? Schreib die Aussagen vielleicht mal als Gleichungen untereinander auf, dann sollte dir etwas auffallen. |
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| 25.05.2011, 10:48 | darbo47 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Modulo Aussagen m teilt a-b => (a-b)*y=m d*x=b a kongruent b mod d wäre d teilt a-b => (a-b)*x=d |
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| 25.05.2011, 10:52 | darbo47 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Modulo Aussagen ich meinte d*x=m |
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| 25.05.2011, 11:12 | darbo47 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Modulo Aussagen Habe noch ein Fehler bemerkt. Jetzt die richtige Fassung: a-b=m*x d*y=m a-b=d*z |
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| 25.05.2011, 12:31 | carlf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Modulo Aussagen Okay, gut. Jetzt steht die Lösung schon fast da. Es gibt ganze Zahlen x und y, sodass die ersten beiden Gleichungen erfüllt sind. Wie zeigst du nun, dass ein z existiert, welches die dritte Gleichung erfüllt? |
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| 25.05.2011, 14:03 | darbo47 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Modulo Aussagen m in der ersten gleichung kann ersetzt werden: a-b=d*y*x => a-b=d*z |
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| 25.05.2011, 20:29 | carlf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Modulo Aussagen Super, genauso klappt's. 
Wenn a und b kongruent modulo m = yd sind, dann ist a - b = xm = xyd, also weil z = xy auch eine ganze Zahl ist, sind a und b auch modulo d kongruent. Dann mal auf zu Teil b). |
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| 26.05.2011, 13:41 | darbo47 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Modulo Aussagen OK, a kongruent b mod m ist ja wieder m teilt a-b, also (a-b)*x=m, a kongruent b mod n ist dementsprechend n teilt a-b, also (a-b)*y=n, a kongruent b mod m*n ist m*n teilt a-b, also (a-b)*z=m*n nur wie kann man jetzt die Tatsache, dass m und n teilerfremd sind, reinbringen? |
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| 26.05.2011, 15:21 | carlf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Modulo Aussagen Jetzt hast du wieder m teilt a-b falsch "übersetzt"... |
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| 26.05.2011, 18:53 | darbo47 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Modulo Aussagen Das ist so verwirrend, sorry! a-b=m*x a-b=n*y a-b=m*n*z |
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| 26.05.2011, 20:49 | carlf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Modulo Aussagen Genau. Und jetzt benutzt du die ersten beiden Aussagen -- das sind ja deine Voraussetzungen -- und folgerst zusammen mit der Teilerfremdheit von n und m die dritte. : ) |
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| 27.05.2011, 12:33 | darbo47 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Modulo Aussagen Nur wie kann ich den ggT reinbringen? |
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| 27.05.2011, 12:35 | carlf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Modulo Aussagen Wie kannst du denn die ersten beiden Aussagen erstmal zu einer neuen kombinieren? |
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| 27.05.2011, 17:00 | darbo47 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Modulo Aussagen Wieder durch Einsetzen m*x=n*y |
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| 27.05.2011, 19:39 | carlf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Modulo Aussagen Genau. Die Gleichung kannst du jetzt in einem einfachen Schritt noch weiter umformen und dann die Voraussetzun ggT (n, m) = 1 benutzen um eine Bezehung zwischen x und y festzustellen, die dir letztendlich die zu zeigende Aussage liefert. 
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| 28.05.2011, 15:33 | darbo47 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Modulo Aussagen Also: a-b=m*x a-b=n*y a-b=m*n*z Einsetzen der ersten in die zweite Gleichung ergibt: m*x=n*y m=(n*y)/x Umstellen nach m bringt nichts. Das a-b muss doch irgendwie darein. Ich weiß echt nicht weiter. |
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| 28.05.2011, 15:59 | carlf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Modulo Aussagen
Dann stell doch mal nach etwas anderem als m um 
Wenn du da dann die Teilerfremdheit von n und m benutzt, kannst du eine Eigenschaft von y/m (oder x/n, jenachdem welchen Weg du gehst) folgern, die dir weiterhilft.
Das a-b spielt weiter eine Rolle, wenn du weißt, was die besondere Eigenschaft von y/m (bzw. x/n) ist. Denn a-b = mx = ny gilt ja nach wie vor. |
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| 28.05.2011, 17:44 | darbo47 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Modulo Aussagen Umstellen bringt dann: y/m=x/n Weil m und n teilerfremd sind, ist dann y auch teilerfremd zu m und x zu n. y*x/((a-b)*m*n) => (a-b)*m*n*z |
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| 28.05.2011, 18:02 | carlf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Modulo Aussagen Nein, y und m sind nicht teilerfremd! Was du mit der Implikation unten meinst, verstehe ich auch nicht. Und die Umformung y/m = x/n bringt dir so nicht besonders viel, erstmal. Du sollst rausfinden, dass y/m (und damit auch x/n) ganzzahlig ist. Warum ist das so? Was bedeutet das weiter für a-b = mx = ny? |
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| 28.05.2011, 18:33 | darbo47 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Modulo Aussagen Ich glaube ,ich krieg das gar nicht mehr raus. y/m ist ganzzahlig, weil sowohl y ein Vielfaches von n und x ein von m ist. Ist ja einleuchtend, dass das so ist, aber ich komme einfach nicht auf die Lösung. Wenn die beiden ganzzahlig sind, heißt dass, dass m*x und n*x auch ganzzahlig. |
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| 28.05.2011, 18:42 | carlf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Modulo Aussagen mx ist sowieso ganzzahlig, denn das war ja genau a-b. y ist nicht unbedingt Vielfaches von n und x ist nicht unbedingt Vielfaches von m. Es gilt doch mx = ny, also auch x = ny/m. Und weil n und m teilerfremd sind, ny/m aber ganzzahlig ist, muss m bereits y teilen. (m teilt ny und ggT(m, n) = 1. Daraus folgt m teilt y.) Und jetzt machst du weiter mit a-b = mx = ny und zeigst a-b = mnz für ein ganzzahliges z. |
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| 28.05.2011, 19:03 | darbo47 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Modulo Aussagen Ok, Einsetzen bringt an dieser Stelle nichts. Egal, wie ich das umstelle, habe das mit Zahlen für die Buchstaben probiert. Ich bekomme das nicht raus. |
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| 28.05.2011, 19:08 | carlf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Modulo Aussagen Was genau tust du denn? Vielleicht beschreibst du das mal etwas präziser und ausführlicher, dann fällt es leichter, dir die richtige Hilfestellung zu geben. An welchem Schritt genau hängst du fest, welche Ideen hast du? |
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| 28.05.2011, 19:11 | darbo47 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Modulo Aussagen a-b=m*x=n*y So wenn ich für x=n*y/m einsetze kommt ja logischerweise a-b=n*y heraus. Ich muss ja in der Gleichung irgendwie auf M*N kommen, nur wie soll das funktionieren? |
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| 28.05.2011, 19:26 | darbo47 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Modulo Aussagen m teilt ja y und n teilt x , vielleicht deswegen y=m*z x=n*z und dann einsetzen z.B für m*x=m*n*z |
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| 28.05.2011, 19:56 | carlf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Modulo Aussagen Sieht doch gut aus!
m teilt y, es gibt also ein z mit mz = y. Damit ist a-b = ny = nmz = mn z, also teilt mn auch a-b. a und b sind also kongruent modulo mn. |
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| 29.05.2011, 10:25 | darbo47 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Modulo Aussagen Danke für deine Geduld und Hilfe ;-) |
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