Seiten-Höhen-Verhältnisse im Dreieck

24.05.2011, 17:49	peppi_schwarzgelb09	Auf diesen Beitrag antworten »
Seiten-Höhen-Verhältnisse im Dreieck Meine Frage: Ich steh vor folgenden Problem. Ich soll zeigen, dass die Flächeninhaltsformel für allgemeine Dreiecke, unabhängig von der Wahl der Grundseite und der Höhe ist. Also das gilt: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}h_{a}a = \frac{1}{2}h_{b}b = \frac{1}{2}h_{c}c \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Dafür müsste ich ja zeigen dass für zwei Höhen und zwei Seiten gilt: $\begin{eqnarray} \frac{h_{a}}{h_{b}} = \frac{b}{a} \end{eqnarray}$ . Dies steht ja in jedem Tafelwerk drin. Aber ich komm leider auf keinen gescheiten Ansatz. Weder Strahlensatz, da nicht anwendbar, noch Ähnlichkeit helfen mir da. Edit (mY+): LaTeX berichtigt (du hast vergessen, die Terme unter LaTeX - Tags zu setzen).
24.05.2011, 20:31	Pascal95	Auf diesen Beitrag antworten »
Rein geometrisch könntest du zeigen, dass man sich eine beliebige Grundseite $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ aussuchen kann und die dazu passende Höhe $\begin{eqnarray} h_a \end{eqnarray}$ wählen muss. Dann multipliziert man die Werte und dividiert durch 2. Das Prinzip ist eigentlich, dass man sich dem ein Rechteck zugrunde legt und man so die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts von Dreiecken zeigt.
24.05.2011, 20:38	Pascal95	Auf diesen Beitrag antworten »
[attach]19795[/attach]
24.05.2011, 21:11	samsi91	Auf diesen Beitrag antworten »
mit zahlen is nicht. soll ich allgemein an allen dreiecken beweisen.
24.05.2011, 21:16	Pascal95	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe auch keine speziellen Zahlenwerte benutzt. Ich meine nur, man muss nicht unbedingt zeigen, dass $\begin{eqnarray} \frac{h_{a}}{h_{b}} = \frac{b}{a} \end{eqnarray}$ . Man kann auch zeigen, dass der Flächeninhalt des Dreiecks durch $\begin{eqnarray} A_D=\frac{1}{2}\cdot a \cdot h_a \end{eqnarray}$ bestimmt wird oder eben durch $\begin{eqnarray} A_D=\frac{1}{2}\cdot b \cdot h_b \end{eqnarray}$ oder eben $\begin{eqnarray} A_D=\frac{1}{2}\cdot c \cdot h_c \end{eqnarray}$ . Es gilt dann: $\begin{eqnarray} A_D=\frac{1}{2}\cdot a \cdot h_a=\frac{1}{2}\cdot b \cdot h_b=\frac{1}{2}\cdot c \cdot h_c \end{eqnarray}$ . Wie man allerdings $\begin{eqnarray} \frac{h_{a}}{h_{b}} = \frac{b}{a} \end{eqnarray}$ beweisen könnte, bin ich leider (zur Zeit) überfragt.
25.05.2011, 12:10	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
ich hätte folgenden vorschlag: das parallelogramm ABDC ist flächengleich dem parallelogramm AEBC, da jedes aus 2 kongruenten dreiecken besteht (dem gegebenen 3eck ABC und 1 klon ) daher gilt: $\begin{eqnarray} c\cdot h_c = b\cdot h_b \end{eqnarray}$
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