Quadraturformel

24.05.2011, 19:18

Nullcheker

Quadraturformel

Hey Leute =) Hoffe ihr könnt mir bei folgender Aufgabe auf die Sprünge helfen:

Bestimmen Sie das quadratische Interpolationspolynom einer Funktion $\begin{eqnarray*} f : [0,2] \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ zu den Stützstellen $\begin{eqnarray*} x = (0,1,2) \end{eqnarray*}$ .

Wie lautet die auf $\begin{eqnarray*} p \in \mathbb P_2 \end{eqnarray*}$ aufbauende Quadraturformel und für welche $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ liefert sie ein exaktes Resultat ?

Also erstmal zum Verständnis:

"Bestimmen sie das quadr. Interpolationspolynom" heisst doch, dass ich ein "nahes" integral g finden soll oder?

Sprich, dass $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! f(x) - g(x) \, dx \leq e \end{eqnarray*}$ .

Nach der Vorlesung & Skript macht man das, indem man erst ein Polynom findet, dass die Funktion beschreibt und dieses dann integriert.

Nur um mein Polynom zu finden brauch ich doch auch die Funktionswerte und nicht nur die Stützstellen oder? =/

Oder hab ich da schon irgendwie einen Denkfehler drin? Hoffe mir kann da jemand auf die Sprünge helfen =)

Und danke schön schon einmal.

24.05.2011, 19:24

tigerbine

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RE: Quadraturformel
Die Funktionswerte sind p(0)=f(0) usw. Es ist ja auch über f nichts weiter bekannt.

Zitat:

Wie lautet die auf $\begin{eqnarray*} p \in \mathbb P_2 \end{eqnarray*}$ aufbauende Quadraturformel

Frage mich eher, was ihr mit "aufbauend" meint?

24.05.2011, 19:33

Nullcheker

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Naja gut nur, wie kriege ich denn dann ein Polynom hin, wenn ich halt keine werte für p(0), p(1) & p(2) habe? Oder sollte das allgemein auch funktionieren ?

Zu der Formulierung .. Gute Frage Big Laugh

Ich denke einfach, dass gemeint ist "wie lautet das Integral zu p"

(Quadraturformel beschreibt doch ein Integral oder ? )

24.05.2011, 19:40

tigerbine

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Na, du wirst das wohl allgemein Aufstellen sollen. Newtonformel z.B. Das kannst du dann ja allgemein integrieren.

24.05.2011, 20:05

Nullcheker

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Also ich habs jetzt einfach mal losprobiert..

$\begin{eqnarray*} x_0 = 0, x_1 = 1, x_2 = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p(x_1) = f(x_1), p(x_2) = f(x_2), p(x_3) = f(x_3), \end{eqnarray*}$

Nach newton:

$\begin{eqnarray*} p_n(x) = a_0 + \sum\limits_{i=1}^n a_i \prod \limits_{k=0}^{i-1}(x-x_k) \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} p_2(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)(x-x_1)=a_0+(x-x_0)(a_1+a_2(x-x_1)) =a_0+(x-0)(a_1+a_2(x-1)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = a_0 + a_1x+a_2x^2-x = a_0 +(a_1-1)x + a_2x^2 = p_2(x) \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} \int_0^2 \! p(x) \, dx = \int_0^2 \! a_0 +(a_1-1)x + a_2x^2 \, dx = \left[ a_0x + \frac{a_1-1}{2}x^2 + \frac{a_2}{3}x^3 \right]_{0}^{2} =2a_0 + 2a_1-2 + \frac{8}{3}a_2 \end{eqnarray*}$

Könntest du da mal drüber gucken, ob das soweit richtig ist?

24.05.2011, 20:08

tigerbine

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Grob drüber geschaut sieht es ok aus. Du solltest aber noch genauer sagen, was man sich unter den "a" vorzustellen hat.

24.05.2011, 20:09

Nullcheker

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Und jetzt kann man die $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ noch ausrechnen / darstellen durch die Newtonschen dividierten Differenzen.

und erhällt dann hoffentlich einen Ausdruck, für den man sagen kann, für welche f das ein exaktes Resultat liefert.

(Das mach/versuch ich dann, wenn ich weiß, ob ich bis hierhin erstmal richtig vorgegangen bin)

25.05.2011, 00:01

Nullcheker

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Also ich hab jetzt mal mithilfe der Newtonschen dividierten Differenzen die a's angegeben:

$\begin{eqnarray*} a_0 = f(x_0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_1 = f(x_1)-f(x_0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_2 = \frac{f(x_2)+f(x_0)-2f(x_1)}2 \end{eqnarray*}$

Das dann eingesetzt ergibt:

$\begin{eqnarray*} \int_0^2 \! p(x) \, dx = 2f(x_0) + 2(f(x_1)-f(x_0) - \frac{f(x_2)+f(x_0)-2f(x_1)}2 + \frac{8}{3} \frac{f(x_2)+f(x_0)-2f(x_1)}2 <br /> = \frac{5}{3} (f(x_2)+f(x_0)-2f(x_1)) +2f(x_1) <br /> = \frac 43 f(x_1) + \frac 53 (f(x_2) + f(x_0)) \end{eqnarray*}$

also mal davon ausgehend ich hätte keinen fehler gemacht (falls sich das jemand angucken möchte, dann gerne), was wäre denn jetzt eine Antwort auf "Für welche f ist das exakt ? "

also in meinen Augen ist das halt für alle f exakt, für die gilt. dass f(x1) , f(x2), f(x3) definiert ist

Ist das so richtig? (formuliert)

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