Produktsatz

24.05.2011, 19:59	LoBi	Auf diesen Beitrag antworten »
Produktsatz Ich soll den Produktsatz beweisen in dem ich folgende Teilaufgaben löse: i) $\begin{eqnarray} det(AB)=0 \Leftrightarrow det A =0 \vee det B= 0 \end{eqnarray}$ ii) Untersuche für $\begin{eqnarray} A \in GL(n, \mathbb R) \end{eqnarray}$ die Abbildung $\begin{eqnarray} \alpha(B)=(det A)^{-1}det(AB) \end{eqnarray}$ iii) den Produktsatz aus i und ii folgern Meine Ideen Die i) hab ich schon bewiesen zu ii) fallen mir nur ein paar Fallunterscheidungen ein: Für $\begin{eqnarray} rang(B)<n \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \alpha(B)=0=det(B) \end{eqnarray}$ Ist $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ die Einheitsmatrix ist $\begin{eqnarray} \alpha(B)=1=det(B) \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} rang(B)=n \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \alpha(B)\not=0 \end{eqnarray}$ (hier müsste ich ja auch $\begin{eqnarray} \alpha(B) = det (B) \end{eqnarray}$ folgern nur wie ?) Wie folgere ich jetzt den Produktssatz? Gruß
24.05.2011, 22:25	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich vermute, daß ihr in der Vorlesung irgendeinen Eindeutigkeitssatz für die Determinante bewiesen habt (z.B. multilinear, alternierend und normiert, d.h. mit Wert 1 für die Einheitsmatrix). Weise diese Eigenschaften für die Abbildung $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ nach. Mit dem Satz weißt du dann: $\begin{eqnarray} \alpha(B) = \det(B) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ .
25.05.2011, 10:21	LoBi	Auf diesen Beitrag antworten »
Seien $\begin{eqnarray} (b_{_1},..., \lambda b_{k}+ \beta b_{k}',...,b_{n}) \end{eqnarray}$ Die Spalten von B. Dann $\begin{eqnarray} \alpha(B)=(detA)^{-1} det(A\cdot(b_{_1},..., \lambda b_{k}+ \beta b_{k}',...,b_{n}))<br /> =(detA)^{-1} (det(A\cdot\lambda (b_{_1},..., b_{k},...,b_{n})+det(A \cdot\beta (b_{_1},...,b_{k}',...,b_{n})))<br /> =(detA)^{-1} det(A\cdot\lambda (b_{_1},..., b_{k},...,b_{n}))+(detA)^{-1}det(A \cdot\beta (b_{_1},...,b_{k}',...,b_{n}))<br /> =\lambda \alpha((b_{_1},..., b_{k},...,b_{n}))+\beta \alpha((b_{_1},..., b_{k}',...,b_{n})) \end{eqnarray}$ Wäre das schonmal für die Multilinearität korrekt ? Wenn ich folgern kann das $\begin{eqnarray} \alpha(B)=det(B) \end{eqnarray}$ habe ich ja den Produktsatz bewiesen, weil ich gezeigt hab das ich die Determinante von A einfach aus det AB rausdividieren kann, und so det B habe. Aber wofür brauch ich dann die die Aussage in i) ? Gruß

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