Galoisgruppe bestimmen (1) [ÜAB]

24.05.2011, 23:21

tigerbine

Galoisgruppe bestimmen (1) [ÜAB]

Zitat:

Sei L der Zerfällungskörper von $\begin{eqnarray*} x^4-x^2-2 \end{eqnarray*}$ über \mathbb Q. Bestimme $\begin{eqnarray*} Aut(L|\mathbb Q) \end{eqnarray*}$ .

Es ist

$\begin{eqnarray*} x^4-x^2-2 = (x^2+1)(x^2-2)=(x+i)(x-i)(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$

Somit ist $\begin{eqnarray*} L=\mathbb Q(i,\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ . Wegen $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(i) \cap \mathbb Q(\sqrt{2})=\mathbb Q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(i)|\mathbb Q \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{2})|\mathbb Q \end{eqnarray*}$ galoisch folgt dann:

$\begin{eqnarray*} Aut(L|\mathbb Q) \cong Aut(\mathbb Q(i)|\mathbb Q) \times Aut(\mathbb Q(\sqrt{2})|\mathbb Q) \cong C_2 \times C_2 \end{eqnarray*}$

Die echten Zwischenkörper sind $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(i), \mathbb Q(\sqrt{2}), \mathbb Q(i\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ .

25.05.2011, 14:51

juffo-wup

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Passt!

25.05.2011, 17:59

tigerbine

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Danke.

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Galoisgruppe bestimmen (1) [ÜAB]

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