Stetigkeit

25.05.2011, 11:40

LoBi

Stetigkeit

i) Zeigen Sie das detM stetig ist
ii) Zeigen Sie, dass es keine stetige Abbildung $\begin{eqnarray*} \alpha[0,1] \to GL(3,\mathbb R) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \alpha(0)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \alpha(1)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gibt .

Meine Ideen
i) Ich weiss das det M linear in jedem Argument, also stetig in jedem Argument. Außerdem gilt für stetige Funktionen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} f+g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f*g \end{eqnarray*}$ wieder stetig sind.

ii)Reicht es hier zu zeigen das $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ nicht linear ist?
Da $\begin{eqnarray*} \alpha(0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha(1) \end{eqnarray*}$ linear sein müssen ?

Gruß

25.05.2011, 11:52

Mazze

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Zitat:

Ich weiss das det M linear in jedem Argument

Wie meinst Du das genau ?. Ist M eine N x N Matrix dann ist

$\begin{eqnarray*} \det(\lambda M) = \lambda^N \det(M) \end{eqnarray*}$

Zum Beweis : Die Argumentation das Summe und Produkt stetiger Funktion stetig ist ist ansich nicht verkehrt. Schau Dir mal die exakte Definition der Determinante an, was für Produkte und Summen stehen da?

Zitat:

ii)Reicht es hier zu zeigen das $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ nicht linear ist?

Nein das reicht nicht. Nichtlinearität ist erstmal kein Kriterium für unstetigkeit. Schau dir mal

$\begin{eqnarray*} \det( \alpha(0) ), \det( \alpha(1)) \end{eqnarray*}$

an. Was wäre wenn alpha stetig wäre ?

25.05.2011, 12:12

LoBi

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zu i) Wenn ich mir die Leibnizformel Formel anschaue dann habe ich ja Produkte von Elementen einer Matrix addiert mit weiteren Produkten Von Elementen einer Matrix.

zu ii)
$\begin{eqnarray*} det(\alpha(0)) =1, det(\alpha(1))=-1 \end{eqnarray*}$
Wie ich daraus jetzt ableiten kann das \alpha nicht stetig ist verstehe ich nicht ?

Gruß

25.05.2011, 12:14

Mazze

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Zitat:

Wenn ich mir die Leibnizformel Formel anschaue dann habe ich ja Produkte von Elementen einer Matrix addiert mit weiteren Produkten Von Elementen einer Matrix.

Ja genau. Und jedes Element beschreibt nichts weiter als die Identitätsfunktion $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , ist diese Stetig?

Zitat:

Wie ich daraus jetzt ableiten kann das \alpha nicht stetig ist verstehe ich nicht ?

Wie gesagt, was wäre denn wenn alpha stetig wäre?

25.05.2011, 12:34

LoBi

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Ja klar ist die stetig, und mit $\begin{eqnarray*} f\cdot g \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} f +g \end{eqnarray*}$ stetig, dann eben auch $\begin{eqnarray*} det(M) \end{eqnarray*}$

zu ii) Da kann ich nur raten, ich muss vielleicht dazu sagen das ich kein Analysis höre
Muss dann vielleicht gelten dass $\begin{eqnarray*} det(\alpha(0+1)) \not= det(\alpha(1) \end{eqnarray*}$
Gruß

25.05.2011, 12:37

Mazze

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Zitat:

Da kann ich nur raten, ich muss vielleicht dazu sagen das ich kein Analysis höre

Ohne Analysis wird der Beweis aber ziemlich schwer. Stetigkeit als solches ist schon etwas was aus der Analysis kommt.

Wenn Alpha stetig wäre, dann wäre die Abbildung

$\begin{eqnarray*} g : [0,1] \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(t) = \det(\alpha(t)) \end{eqnarray*}$

ebenalls stetig ( Verkettung stetiger Funktionen ist stetig und Det ist ja stetig aus Aufgabe i)) und es gilt

$\begin{eqnarray*} g(0) = 1, g(1) = -1 \end{eqnarray*}$

Mit Hilfe des Zwischenwertsatzes lässt sich jetzt der Widerspruch herleiten. Zeige dass es ein $\begin{eqnarray*} t \in [0,1] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(t) = 0 \end{eqnarray*}$ gibt. Welcher Eigenschaft widerspricht dieses?

25.05.2011, 12:46

LoBi

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Existiert ein $\begin{eqnarray*} t \in [0,1] \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} g(t) = 0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \alpha(t) \not\in GL(3,\mathbb R) \end{eqnarray*}$

Wie ich dieses t finde probiere ich jetzt mal
Gruß

25.05.2011, 12:47

Mazze

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Zitat:

Existiert ein $\begin{eqnarray*} t \in [0,1] \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} g(t) = 0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \alpha(t) \not\in GL(3,\mathbb R) \end{eqnarray*}$

Das ist ganz genau die richtige Argumentation ! Um das t zu finden nutzt Du den Zwischenwertsatz!

p.s.: Die Existenz dieses t's reicht völlig aus, der genaue Wert ist nicht von Belang (und kann auch nicht angegeben werden).

25.05.2011, 13:07

LoBi

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Also nehme ich jetz also an das $\begin{eqnarray*} g(t) \end{eqnarray*}$ stetig ist wegen $\begin{eqnarray*} [g(1)=-1, g(0)=1] \end{eqnarray*}$ existiert ein $\begin{eqnarray*} t \in [0,1] \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} g(t)=0 \end{eqnarray*}$ . Dann habe ich obigen Widerspruch, also kann $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ nicht stetig sein.

So schlüssig ?
Ich bedank mich schonmal
Gruß

25.05.2011, 13:12

Mazze

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Zitat:

So schlüssig ?

Du solltest noch bei

Zitat:

existiert ein $\begin{eqnarray*} t \in [0,1] \end{eqnarray*}$

erwähnen, dass das aus dem Zwischenwertsatz folgt. Ansonsten ist das in Ordnung.

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