Vektorgeometrie

25.05.2011, 15:57	Ostara	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorgeometrie Meine Frage: Hallo zusammen. Ich muss unbedingt wissen, ob ich diese Aufgabe richtig gelöst habe... gegeben sind die Kugel k x-2)^2+(y+1)^2+(z-5)^2=36 und die Gerade g:r= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 \\ -9 \\ 10 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Bestimme die Tangentialebenen an die Kugel k, die normal zu g liegen. Danke im Voraus Meine Ideen: Also 'normal zu g' bedeutet doch senkrecht zu g (oder?). Das heisst, dass der Normalenvektor der Ebene, derselbe wie der Richtungvektor der Geraden ist. -> E: x+4y-z+d=0 Um d herauszufinden brauche ich noch einen Punkt, der auf der Ebene liegt, also den Berührungspunkt (liegt auf der Ebene und auf der Kugel). Dieser liegt auf der Geraden durch den Mittelpunkt und den Berührungspunkt. -> l: r(t)= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} -> P=\begin{pmatrix} 2-t \\ -1+4t\\ 5-t \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Weil P auch auf der Kugel liegt, setze ich das einfach in die Kugelgleichung ein. Dann bekomme ich t= $\begin{eqnarray} \pm \sqrt{2} \end{eqnarray}$ . Also habe ich den Berührungspunkt und diesen setze ich in die Ebenengleichung ein und bekomme $\begin{eqnarray} 7-18\sqrt{2} \end{eqnarray}$ . -> E: x+4y-z $\begin{eqnarray} 7-18\sqrt{2} \end{eqnarray}$ =0 Irgendwie glaub ich nicht, dass das stimmt...
25.05.2011, 19:11	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorgeometrie das stimmt, dass deine lösung falsch ist. was bedeutet es, wenn g parallel E eine der beiden tangentialebenen hat die gleichung $\begin{eqnarray} T_1:\quad{ }-2x+y+2z-23=0 \end{eqnarray}$
25.05.2011, 20:28	Ostara	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorgeometrie Hallo, danke für Deine Antwort. Wenn g parallel zu E ist, dann ist der Richtungsvektor von g kollinear zu den Richtungsvektoren von E. Hm, sollte die Gerade aber nicht senkrecht auf der Ebene stehen? Dann sind der Normalenvektor der Ebene und der Richtungvektor der Geraden parallel zueinander. Wie bist Du übrigens auf T:-2x+y+2z-23=0 gekommen.
25.05.2011, 20:44	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorgeometrie opi hat mich auf meinen denkfehler aufmerksam gemacht. da oben steht unsinn
25.05.2011, 21:03	Ostara	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, opi, wie wärs mit einem Tipp? Ach bitte, opi... Nein, scherz beiseite... Kannst Du mir wenigstens sagen, was ich falsch gemacht habe? Ich seh den Fehler einfach nicht...
25.05.2011, 21:15	opi	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast alles richtig gemacht. (Im Rechenweg hat sich zwar ein -t eingeschlichen, daß wird aber ein Tippfehler sein.) Du darfst aber nicht vergessen, daß es noch eine zweite Ebenengleichung gibt.
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25.05.2011, 21:25	Ostara	Auf diesen Beitrag antworten »
jup, man bekommt ja 2 Lösungen für t... Dann einfach wieder in die Ebenengleichung einsetzen. Das schaff ich schon allein... Danke
25.05.2011, 21:31	opi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke auch, daß Du das schaffst. Viel Spaß!

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