Lineare Abhängigkeit und Basis

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Jaso Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abhängigkeit und Basis
Meine Frage:
Hallo,
ich sitze gerade über einer Aufgabe und bin ziemlich planlos. Mir ist völlig klar, was lineare Unabhängigkeit bedeutet, aber ich kann mit der Basis und dem Erzeugendensystem einfach nichts anfangen. Ich hoffe, mir kann jemand hier helfen. Mit dem Gauß-Verfahren oder Matrizen dürfen wir übrigens noch nicht arbeiten.

Aufgabe ist folgende:
Sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum, {v1, v2, v3} eine lin.unabhängige Teilmenge von V.
Zeigen Sie, dass dann auch die Menge {v1, v1+v2, v1+v2+v3} lin. unabhängig ist.

Meine Ideen:
Also, ich habe gedacht, ich prüfe die ganz normale Vorraussetzung für lineare Unabhängigkeit.

Sei a(v1) + b(v1+v2) + c(v1+v2+v3) = 0

Dann habe ich jeweils v1, v2 und v3 ausgeklammert. Also:
(a+b+c)v1 + (b+c)v2 + (c)v3 = 0

Nun komme ich nicht weiter. Wir hatten ein ähnliches Bsp.in der Vorlesung und es wurde gesagt, dass a+b+c=0 sind, b+c auch und c auch. Aber warum? Ich kann doch nicht einfach festlegen, dass das 0 sein soll... Es wurde irgendwas von Basis gesagt.
Vielen Dank schonmal.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abhängigkeit und Basis
Zitat:
Dann habe ich jeweils v1, v2 und v3 ausgeklammert. Also:
(a+b+c)v1 + (b+c)v2 + (c)v3 = 0

Nun komme ich nicht weiter. Wir hatten ein ähnliches Bsp.in der Vorlesung und es wurde gesagt, dass a+b+c=0 sind, b+c auch und c auch. Aber warum?


Du hast gesagt, du hast lu verstanden.

Zitat:
{v1, v2, v3} eine lin.unabhängige Teilmenge von V.


Was bedeutet das nun also?
Jaso Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abhängigkeit und Basis
das bedeutet, dass sich keiner der vektoren durch die beiden anderen darstellen lässt...
Jaso Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abhängigkeit und Basis
und das für a(v1) + b(v2) + c(v3) = 0 gilt: a=b=c=0

aber das kann ich ja nicht einfach übertragen auf die andere Menge...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abhängigkeit und Basis
Es bedeutet, dass man lu Vektoren nur trivial zum Nullvektor kombinieren kann.

Zitat:
Aus (*) folgt also


Wir wollen nun wissen, wie verhält sich das bei diesen Vektoren?



Wie kommen wir an Informationen? Richtig, klammern auflösen, so dass wir (*) benutzen können. Denn das ist alles was wir wissen.



Nun wissen wir aus (*), dass die Koffizienten(!) hier alle 0 sein müssen, weil v1,v2,v3 lu sind. Nicht zwangläufig a=b=c=0(!).
Jaso Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abhängigkeit und Basis
Okay, das würde ich verstehen und das war auch eigentlich meine erste logische Folgerung.

Aber dann verstehe ich Teil b) der Aufgabe nicht:

Ist die Menge {v1+v2, v1+v3, v2+v3} auch lin. unabhängig?

Die Antwort soll anscheinend "nein" sein, wie ich gehört habe. Wenn man jedoch genauso vorgeht wie bei der oberen, komme ich auf dasselbe Ergebnis. Deshalb dachte ich, dass (*) nicht der Grund sein kann, weshalb die Koeffizienten = 0 sind...

Denn aus
a(v1+v2) + b(v1+v3) + c(v2+v3) = 0 folgt
(a+b)v1 + (a+c)v2 + (b+c)v3 = 0

Hier würde ich jetzt genauso vorgehen, aber dann kommt dasselbe Ergebniss raus...
 
 
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abhängigkeit und Basis
Ich komme auch auf lu... verwirrt
Jaso Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abhängigkeit und Basis
Mmh.... Denke dass es sinnvoll wäre, dass l.a. rauskommt. Allein schon, weil die Aufgabenstellung sonst nicht viel Sinn machen würde. Das wäre zu einfach, wenn a) und b) gleich wären. Es wurde irgendwas von Basis gesagt, könnte das etwas damit zu tun haben? Aber davon habe ich leider gar keine Ahnung...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abhängigkeit und Basis
Also bei der (b) nun mal ein Gegenbeispiel für generell la.
code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
>> A=[1,0,0;0,1,0;0,0,1]
A =
     1     0     0
     0     1     0
     0     0     1
>> B=[1,1,0;1,0,1;0,1,1]
B =
     1     1     0
     1     0     1
     0     1     1
>> rank(B)
ans =
     3
>> 


und die (a)

code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
 3
>> C=[1,1,1;0,1,1;0,0,1]
C =
     1     1     1
     0     1     1
     0     0     1
>> rank(C)
ans =
     3
>> 
Jaso Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abhängigkeit und Basis
ja, das macht Sinn... Mmh, dann werde ich es wohl erstmal so aufschreiben, wenn du auf dasselbe kommst. Falls ich noch eine andere Info bekomme, dann poste ich hier nochmal.
Danke!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abhängigkeit und Basis
Bitte. Wink
christiane22 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abhängigkeit und Basis
ok
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abhängigkeit und Basis
@christine22:

Mit wem sprichst du?
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