Konstruktion von sqrt(x)

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26.05.2011, 21:40	Pascal95	Auf diesen Beitrag antworten »
Konstruktion von sqrt(x) Hallo, ich überlege mir, wie ich aus einer gegebenen Zahl $\begin{eqnarray} x \in \mathbb Q \end{eqnarray}$ konstruktiv (durch geometrisches Konstruieren) eine Strecke ermitteln kann, die eine Länge von $\begin{eqnarray} a=\sqrt{x} \end{eqnarray}$ hat. Dabei dachte ich sofort an die Pythagoras Sprirale (siehe hier). Doch dazu müsste ich die Konstruktion rekursiv beschreiben, also muss man für $\begin{eqnarray} \sqrt{7} \end{eqnarray}$ die vorherigen Dreiecke schon gezeichnet haben. Alternativ sucht man sich Zahlen $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} p^2+q^2=a^2=x \end{eqnarray}$ (Pythagoras). Man zerlegt also $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ in die Summe zweier Quadratzahlen, was bei vielen Zahlen gar nicht geht... Wer hat Ideen? Vielen Dank
26.05.2011, 22:37	Mathe-Maus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konstruktion von sqrt(x) Hallo Pascal, ich glaube, Du hast hier einiges durcheinandergewürfelt ... Was möchtest Du konstruieren ? a oder eine Länge $\begin{eqnarray} \sqrt{x} \end{eqnarray}$ ? Es gibt übrigens auch den Höhensatz $\begin{eqnarray} h^{2} = p \cdot q \end{eqnarray}$ Also 1) die Seite c in 2 Faktoren zerlegen 2) die Mitte von c ermitteln und Kreisbogen schlagen 3) p abtragen, Höhe darauf einzeichnen Im allgemeinen wird dieses Verfahren zur Konstruktion einer Wurzel angewendet. Solltest Du etwas anderes meinen, so melde Dich nochmal und beschreibe Dein Problem etwas umfassender ... LG Mathe-Maus
26.05.2011, 22:39	Pascal95	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich will eine Strecke mit der Länge $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ konstruieren. Das andere waren eher (offensichtlich nutzlose) Ideen.
26.05.2011, 22:56	Mathe-Maus	Auf diesen Beitrag antworten »
.. und was soll x sein ?
26.05.2011, 22:58	Pascal95	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} x\in \mathbb Q \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a=\sqrt{x} \end{eqnarray}$ . Die Strecke mit der Länge $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ soll konstruiert werden.
28.05.2011, 16:20	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Kathetensatz, Höhensatz, Heron-Verfahren, Pythagoras. Kathetensatz, Höhensatz, Pythagoras: Link Ich denke alle können zum Ziel führen
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28.05.2011, 16:47	Pascal95	Auf diesen Beitrag antworten »
Konstruktion von sqrt(4) Ich möchte z.B. $\begin{eqnarray} \sqrt{4} \end{eqnarray}$ konstruieren. Ich benutze den Kathetensatz und den Höhensatz, und die Höhe $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ soll $\begin{eqnarray} \sqrt{4} \end{eqnarray}$ betragen, also $\begin{eqnarray} h=\sqrt{4} \end{eqnarray}$ . [attach]19851[/attach] Dann ist $\begin{eqnarray} h^2=4=p\cdot q \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \Rightarrow \ \ p=2; \ \ q=2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \ \ c=p+q=2+2=4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a^2=p\cdot c\ \ \Rightarrow \ \ a=\sqrt{p\cdot c}=\sqrt{2\cdot 4}=2\sqrt{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b^2=q\cdot c\ \ \Rightarrow \ \ b=\sqrt{q\cdot c}=\sqrt{2\cdot 4}=2\sqrt{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ ist der Winkel bei $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} \cos \alpha = \frac{p}{a}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \ \ \alpha = \arccos \frac{1}{\sqrt{2}}=45° \end{eqnarray}$ . So könnte ich das Dreieck und damit $\begin{eqnarray} h=\sqrt{4} \end{eqnarray}$ konstruieren. Ist das richtig, und/oder hat jemand einen einfacheren Konstruktionsplan? Edit: Mir ist natürlich klar, dass $\begin{eqnarray} \sqrt{4}=2 \end{eqnarray}$ , aber es geht hier ja ums geometrische Konstruieren.
28.05.2011, 16:56	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Was bedeutet schon "einfacher"? Dem einem liegt das mehr, dem anderen das andere. Ich sehe zumindest mal keinen viel kürzeren Weg. Natürlich auch alles richtig gerechnet. Wenn dir meine Antwort nicht genug ist, riwe auf den Thread aufmerksam machen Ich bin kein Geometriker (gibts das Wort^^) :P
28.05.2011, 16:58	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
@Pascal95 Wenn es um Konstruktionen geht, dann sollte klar dargelegt werden, was gegeben und was konstruiert werden soll. Bei deinem Problem hier würde ich vermuten, dass die gegeben Größen sind: 1) Strecke $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ 2) Referenzstrecke der Länge 1 Die, und nur die Strecken stehen am Anfang zur Verfügung! Ich schätze mal, über Punkt 2) hast du dir noch gar keine Gedanken gemacht, wieso das hier nötig ist, nicht wahr? An deiner Konstruktionsbeschreibung kann ich übrigens überhaupt nicht ablesen, wie die für andere Werte als x=4 funktionieren soll, vielleicht kannst du das ja mal näher ausführen, sagen wir z.B. mal für x=7 ?
28.05.2011, 17:02	Pascal95	Auf diesen Beitrag antworten »
@Equester: Danke, wenn ich nicht mehr weiter weiß, werde ich das tun @HAL 9000: Naja, das ist ja gerade mein Problem, solch eine allgemeine Konstruktion zu erstellen.
28.05.2011, 19:11	Thalesman	Auf diesen Beitrag antworten »
Pascal, darf ich Dich auf den ersten Beitrag von Mathe-Maus zurückverweisen, in dem eine einfache Konstruktion per Thaleskreis vorgeschlagen wurde. So kann z.B. $\begin{eqnarray} \sqrt 7 \end{eqnarray}$ recht elegant mit einem Thaleskreis über der Basis 8=1+7 konstruiert werden. Wie gefordert, benötigt man nur die Länge x und eine Referenzstrecke der Länge 1.
28.05.2011, 19:33	Pascal95	Auf diesen Beitrag antworten »
Aha, jetzt ist es mir klar. Vielen Dank Dann könnte man $\begin{eqnarray} \sqrt{4} \end{eqnarray}$ ja folgendermaßen konstruieren: Ich zerlege: $\begin{eqnarray} 1 \cdot 4 = 4 \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} p=1; \ \ q=4 \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} c=p+q=1+4=5 \end{eqnarray}$ Dann ist die Mitte $\begin{eqnarray} \frac{c}{2}=\frac{5}{2}=2,5 \end{eqnarray}$ . Dann schlage ich von da aus einen Kreisbogen mit dem Radius $\begin{eqnarray} r=2,5 \end{eqnarray}$ . Dann trage ich die Höhe ab. Edit: Bild hinzugefügt: [attach]19853[/attach]
28.05.2011, 19:56	Mathe-Maus	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Pascal, Dein letzter Beitrag ist super. Übrigens findest Du dieses Thema sehr ausführlich in den Mathebüchern der 9.Klasse beschrieben ... Da Du 15 bist, nehme ich an, dass Du gerade die 9.Klasse besuchst ? Ansonsten: Großes Lob für Deine sonstigen Lernhilfen hier im Board, scheinst ein echter Mathe-Freak zu sein ! LG Mathe-Maus
28.05.2011, 19:59	Pascal95	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, danke. Ich weiß solche Kommentare sehr zu schätzen Und, ja, ich gehe in die 9.te Klasse und, ob man mich jetzt Freak nennt, ist jedem selbst überlassen Danke dir und den anderen, die mir hier auch immer helfen. Da muss ja auch irgendwas zurückkommen

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