Faktorisierung nach invarianten Unterräumen

27.05.2011, 16:04

Heike

Faktorisierung nach invarianten Unterräumen

Meine Frage:
Hallo zusammen,
die Aufgabe lautet:

Sei $\begin{eqnarray*} V = \mathbb R [s] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} I : V \rightarrow V \end{eqnarray*}$ der Integrationsoperator

$\begin{eqnarray*} \alpha_0 + \alpha_1 \cdot s + \cdots + \alpha_m \cdot s^m \rightarrow \alpha_0 \cdot s + \frac{1}{2} \alpha_1 \cdot s^2 + \frac{1}{m+1} \dots \alpha_{m+1} \cdot s^{m+1} \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie, dass die Abbildung

$\begin{eqnarray*} g: V/s^{n+1}V \rightarrow V/s^{n+1}V, g([p]):=[I(p)] \end{eqnarray*}$

wohldefiniert ist und bestimmen Sie die Darstellungsmatrix von g.

Meine Ideen:
Um zu zeigen, dass die Abbildung wohldefiniert ist, muss ich doch zeigen:

$\begin{eqnarray*} [p_1] = [p_2] \Rightarrow g([p_1]) = g([p_2]) \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} [I(p_1)]= [I(p_2)] \end{eqnarray*}$ .

Außerdem denke ich, dass gilt $\begin{eqnarray*} I(p_1)= \alpha_0 \cdot s + \frac{1}{2} \alpha_1 \cdot s^2 + \dots + \frac{1}{m+1} \alpha_m \cdot s^{m+1} \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} I(p_2)= \beta_0 \cdot s + \frac{1}{2} \beta_1 \cdot s^2 + \frac{1}{m+1} \dots \beta_m \cdot s^{m+1} \end{eqnarray*}$

Aber was ist meine Äquivalenzrelation? Muss ich jetzt irgendwie zeigen, dass $\begin{eqnarray*} I(p_1)- I(p_2) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ liegt?!

Zur Darstellungsmatrix habe ich mir überlegt, dass ich ja eine Basis brauche. Das wären ja z.B. die Monome. Wäre $\begin{eqnarray*} B= (1,s, \dots ,s^m ) \end{eqnarray*}$ eine Basis?

Vielen Dank für Eure Hilfe!

28.05.2011, 16:53

Reksilat

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RE: Faktorisierung nach invarianten Unterräumen
Hallo Heike,

Du solltest Dich zuerst mit dem Vektorraum befassen, mit dem Du hier arbeitest. Das ist $\begin{eqnarray*} V/s^{n+1}V \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ eine feste Zahl ist.
(Das sollte eigentlich zu Beginn angegeben werden.)

Zwei Nebenklassen sind hier genau dann gleich, wenn sie sich um ein Vielfaches des Monoms $\begin{eqnarray*} s^{n+1} \end{eqnarray*}$ unterscheiden, also zum Beispiel:
$\begin{eqnarray*} [s]=[s+9\cdot s^{n+19}] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} [0]=[s^{n+1}] \end{eqnarray*}$

Die Basis für Deinen Vektorraum besteht natürlich auch aus solchen Nebenklassen.

Gruß,
Reksilat.

28.05.2011, 17:27

Heike

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RE: Faktorisierung nach invarianten Unterräumen
Hallo Reksilat,

wenn ich das jetzt richtig verstanden habe wäre z.B. für n=1
$\begin{eqnarray*} [0]=[s^{2}] \end{eqnarray*}$
und damit wäre
$\begin{eqnarray*} [1], [s] \end{eqnarray*}$
eine Basis.

Dann müsste für ein allgemeines n
$\begin{eqnarray*} [1], [s],.....,[s^n] \end{eqnarray*}$
eine Basis sein, oder?

Müsste ich dann für die Wohldefiniertheit zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} [ I(p_1) ]= [\alpha_0 \cdot s + \frac{1}{2} \alpha_1 \cdot s^2 + \dots + \frac{1}{m+1} \alpha_m \cdot s^{m+1}] = \alpha_0 \cdot [s] + \frac{1}{2} \alpha_1 \cdot [s^2] + \dots + \frac{1}{m+1} \alpha_m \cdot [s^{m+1}] \end{eqnarray*}$

gilt?

28.05.2011, 17:38

Heike

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RE: Faktorisierung nach invarianten Unterräumen
Nee, ich glaub für die Wohldefiniertheit muss ich schon

Zitat:

Original von Heike
$\begin{eqnarray*} [p_1] = [p_2] \Rightarrow g([p_1]) = g([p_2]) \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} [I(p_1)]= [I(p_2)] \end{eqnarray*}$ .

zeigen. Nur wie mache ich das...

28.05.2011, 18:58

Reksilat

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RE: Faktorisierung nach invarianten Unterräumen

Zitat:

Original von Heike
Dann müsste für ein allgemeines n
$\begin{eqnarray*} [1], [s],.....,[s^n] \end{eqnarray*}$
eine Basis sein, oder?

Genau.

Und Dein Ansatz für die Wohldefiniertheit stimmt auch. Dazu solltest Du aber zuerst mal schauen, was $\begin{eqnarray*} [ \alpha_0 + \alpha_1 \cdot s + \cdots + \alpha_m \cdot s^m ] \end{eqnarray*}$ eigentlich ist (als Linearkombination Deiner Basis ausgedrückt). Hier musst Du auch beachten, ob das $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ größer als $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist oder nicht.

Wenn Du das hast, weißt Du auch, was $\begin{eqnarray*} p_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p_2 \end{eqnarray*}$ gemein haben, wenn $\begin{eqnarray*} [p_1]=[p_2] \end{eqnarray*}$ gilt.

28.05.2011, 19:32

Heike

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RE: Faktorisierung nach invarianten Unterräumen
also ich denke, dass gilt:
$\begin{eqnarray*} [ \alpha_0 + \alpha_1 \cdot s + \cdots + \alpha_m \cdot s^m ] = \alpha_0 + \alpha_1 \cdot [s] + \cdots + \alpha_m \cdot [s^m ] \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} m \leq n \end{eqnarray*}$ gilt dann:
$\begin{eqnarray*} [ \alpha_0 + \alpha_1 \cdot s + \cdots + \alpha_m \cdot s^m ] = \alpha_0 + \alpha_1 \cdot [s] + \cdots + \alpha_m \cdot [s^m ] \end{eqnarray*}$
und für $\begin{eqnarray*} m > n \end{eqnarray*}$ müsste gelten:
$\begin{eqnarray*} [ \alpha_0 + \alpha_1 \cdot s + \cdots + \alpha_m \cdot s^m ] = \alpha_0 + \alpha_1 \cdot [s] + \cdots + \alpha_n \cdot [s^n ] + \alpha_{n+1} \cdot [s^{n+1}] \cdots + \alpha_m \cdot [s^m ] \\= \alpha_0 + \alpha_1 \cdot [s] + \cdots + \alpha_n \cdot [s^n ] + \alpha_{n+1} \cdot [0 ] + \cdots + \alpha_m \cdot [s^{m-n} ] \\=\alpha_0^* + \alpha_1^* \cdot [s] + \cdots + \alpha_n^* \cdot [s^n ] <br /> \end{eqnarray*}$

Dann gilt [p1]=[p2], wenn $\begin{eqnarray*} \alpha_0^*=\beta_0^* \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \alpha_1^*=\beta_1^* \end{eqnarray*}$ ....

Kann ich dann die Wohldefiniertheit für $\begin{eqnarray*} m < n \end{eqnarray*}$ zeigen mit
$\begin{eqnarray*} [ I(p_1) ]= [\alpha_0 \cdot s + \frac{1}{2} \alpha_1 \cdot s^2 + \dots + \frac{1}{m+1} \alpha_m \cdot s^{m+1}] = \alpha_0 \cdot [s] + \frac{1}{2} \alpha_1 \cdot [s^2] + \dots + \frac{1}{m+1} \alpha_m \cdot [s^{m+1}] \\= \beta_0 \cdot [s] + \frac{1}{2} \beta_1 \cdot [s^2] + \dots + \frac{1}{m+1} \beta_m \cdot [s^{m+1}] = [ I(p_2) ] \end{eqnarray*}$ ??

Edit: Zeilenumbruch eingefügt. Gruß, Reksilat.

28.05.2011, 22:59

Reksilat

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RE: Faktorisierung nach invarianten Unterräumen
Die Sterne kannst Du weglassen. Ich weiß nämlich auch gar nicht was sie bedeuten sollen. Big Laugh

$\begin{eqnarray*} [p_1]=[p_2] \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} \alpha_i=\beta_i \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i=0..n \end{eqnarray*}$

Der Rest sieht auch schon ganz gut aus.
Freude

29.05.2011, 08:13

Heike

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RE: Faktorisierung nach invarianten Unterräumen
Die Sterne habe ich hingemacht, weil ich dachte, dass z.B.
$\begin{eqnarray*} \alpha_{n+2} \cdot [s^{n+2}] = \alpha_{n+2} \cdot [s \cdot s^{n+1}] = \alpha_{n+2} \cdot [s] \end{eqnarray*}$
Dann würden sich die $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ 's vor manchen Äquivalenzklassen ändern, deshalb hab ich die Sterne hingemacht.
Ist diese Überlegung falsch?

Wohldefiniertheit für ein allgemeines m:

$\begin{eqnarray*} [ I(p_1) ]= [\alpha_0 \cdot s + \frac{1}{2} \alpha_1 \cdot s^2 + \dots + \frac{1}{m+1} \alpha_m \cdot s^{m+1}] = \alpha_0 \cdot [s] + \frac{1}{2} \alpha_1 \cdot [s^2] + \dots + \frac{1}{n} \alpha_n \cdot [s^{n}] \\= \beta_0 \cdot [s] + \frac{1}{2} \beta_1 \cdot [s^2] + \dots + \frac{1}{n} \beta_n \cdot [s^{n}] = [ I(p_2) ] \end{eqnarray*}$

Stimmt das?
Wenn ich jetzt eine Basis habe, wie bekomme ich die Darstellungsmatrix?

Dazu brauche ich ja $\begin{eqnarray*} g([b_1])= g( [1])= [s] \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} g([b_n])= g( [n])= \frac{1}{n+1} [s^{n+1}] \end{eqnarray*}$ . Gehört da der Bruch immer mit dazu? Ich denke schon, bin mir aber nicht sicher...

Jetzt brauche ich ja z.B. $\begin{eqnarray*} g([b_1])_B = g( [1])= [s] = B(0,1,0...0)^T \end{eqnarray*}$ bis
$\begin{eqnarray*} g([b_n])_B = g( [n])=\frac{1}{n+1} [s^{n+1}] = B(0,0,...,0,1)^T \end{eqnarray*}$ . Und die Darstellungsmatrix wäre
$\begin{eqnarray*} M(g)_B= \begin{pmatrix} 0 &1 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & \frac{1}{n+1} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Ist das richtig?
Auf jeden Fall vielen, vielen Dank für deine Hilfe!

29.05.2011, 17:42

Reksilat

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RE: Faktorisierung nach invarianten Unterräumen

Zitat:

Original von Heike
Die Sterne habe ich hingemacht, weil ich dachte, dass z.B.
$\begin{eqnarray*} \alpha_{n+2} \cdot [s^{n+2}] = \alpha_{n+2} \cdot [s \cdot s^{n+1}] = \alpha_{n+2} \cdot [s] \end{eqnarray*}$
Dann würden sich die $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ 's vor manchen Äquivalenzklassen ändern, deshalb hab ich die Sterne hingemacht.
Ist diese Überlegung falsch?

Ja, das ist falsch, denn wie ich ja oben schon schrieb ist $\begin{eqnarray*} [s^{n+1}]=[0] \end{eqnarray*}$ . Ebenso $\begin{eqnarray*} [s^{n+2}]=[0] \end{eqnarray*}$ usw. Ebene alle durch $\begin{eqnarray*} s^{n+1} \end{eqnarray*}$ teilbaren Terme fallen weg.

Zitat:

Wohldefiniertheit für ein allgemeines m:

$\begin{eqnarray*} [ I(p_1) ]= [\alpha_0 \cdot s + \frac{1}{2} \alpha_1 \cdot s^2 + \dots + \frac{1}{m+1} \alpha_m \cdot s^{m+1}] = \alpha_0 \cdot [s] + \frac{1}{2} \alpha_1 \cdot [s^2] + \dots + \frac{1}{n} \alpha_n \cdot [s^{n}] \\= \beta_0 \cdot [s] + \frac{1}{2} \beta_1 \cdot [s^2] + \dots + \frac{1}{n} \beta_n \cdot [s^{n}] = [ I(p_2) ] \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

Die Indizes stimmen noch nicht ganz. Vor $\begin{eqnarray*} [s^n] \end{eqnarray*}$ muss $\begin{eqnarray*} \alpha_{n-1} \end{eqnarray*}$ stehen.
Außerdem gilt das in dieser Form nur für $\begin{eqnarray*} m\geq n-1 \end{eqnarray*}$ . Andernfalls hört die Reihe nämlich schon eher auf. Für $\begin{eqnarray*} m<n-1 \end{eqnarray*}$ kannst Du aber einfach $\begin{eqnarray*} \alpha_{m+1}=...=\alpha_n=0 \end{eqnarray*}$ definieren und auf den anderen Fal zurückführen.

Zitat:

Wenn ich jetzt eine Basis habe, wie bekomme ich die Darstellungsmatrix?

Dazu brauche ich ja $\begin{eqnarray*} g([b_1])= g( [1])= [s] \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} g([b_n])= g( [n])= \frac{1}{n+1} [s^{n+1}] \end{eqnarray*}$ . Gehört da der Bruch immer mit dazu? Ich denke schon, bin mir aber nicht sicher...

Jetzt brauche ich ja z.B. $\begin{eqnarray*} g([b_1])_B = g( [1])= [s] = B(0,1,0...0)^T \end{eqnarray*}$ bis
$\begin{eqnarray*} g([b_n])_B = g( [n])=\frac{1}{n+1} [s^{n+1}] = B(0,0,...,0,1)^T \end{eqnarray*}$ . Und die Darstellungsmatrix wäre
$\begin{eqnarray*} M(g)_B= \begin{pmatrix} 0 &1 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & \frac{1}{n+1} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ein paar Ungenauigkeiten sind noch drin, aber im großen und ganzen ist das richtig.

Du hast doch insgesamt n+1 Basisvektoren - und nicht nur n. Also:
$\begin{eqnarray*} b_0=[1] \end{eqnarray*}$ .
...
$\begin{eqnarray*} b_n=[s^n] \end{eqnarray*}$

Dann ist
$\begin{eqnarray*} g(b_0)=[s]=b_1 \end{eqnarray*}$
...
$\begin{eqnarray*} g(b_{n-1})=b_n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(b_n)=[s^{n+1}]=[0] \end{eqnarray*}$ (siehe oben)

Auf der Hauptdiagonalen liegen nur Nullen und die nichttrivialen Einträge finden sich auf einer Nebendiagonalen.

30.05.2011, 08:12

Heike

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RE: Faktorisierung nach invarianten Unterräumen
Guten Morgen Reksilat,

das mit den sternchen habe ich jetzt kapiert, und das mit der Wohldefiniertheit auch - danke!

Dann war bei meiner Darstellungsmatrix der letzte Basisvektor, also die letzte Zeile falsch, oder? Die richtige Matrix wäre dann

$\begin{eqnarray*} M(g)_B= \begin{pmatrix} 0 &1 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & \frac{1}{n} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Eine n+1 x n+1 Matrix, in der in der ersten Zeile und letzten Spalte nur Nullen stehen. Jetzt noch eine letzte Frage:
Sind die Einträge auf der Nebendiagonalen einsen oder die Brüche $\begin{eqnarray*} 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \cdots \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ,d.h. gilt

$\begin{eqnarray*} g(b_{n-1}) = b_n=[s^n] \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} g(b_{n-1}) = b_n=\frac{1}{n}[s^n] \end{eqnarray*}$

30.05.2011, 10:42

Reksilat

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RE: Faktorisierung nach invarianten Unterräumen
Morgen! Wink

Zitat:

Jetzt noch eine letzte Frage:
Sind die Einträge auf der Nebendiagonalen einsen oder die Brüche $\begin{eqnarray*} 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \cdots \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ,d.h. gilt
$\begin{eqnarray*} g(b_{n-1}) = b_n=[s^n] \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} g(b_{n-1}) = b_n=\frac{1}{n}[s^n] \end{eqnarray*}$

Ich habe mich oben verschrieben. Es ist:
$\begin{eqnarray*} g(b_{n-1}) =g([s^{n-1}])=\frac{1}{n}[s^n]=\frac{1}{n}b_n \end{eqnarray*}$ .
Die Matrix sieht also so aus, wie Du sie geschrieben hast.

Gruß,
Reksilat.

30.05.2011, 10:49

Heike

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RE: Faktorisierung nach invarianten Unterräumen
Vielen Dank für deine Hilfe!
Jetzt habe ich die Aufgabe (hoffentlich) komplett verstanden!

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