Kombinatorik

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Shortstop Auf diesen Beitrag antworten »
Kombinatorik
Hey zusammen! Ich habe folgende Aufgabe zu lösen:

Wir betrachten 2 gleiche Urnen A und B.

Ich überlege nun, wie ich mir so etwas wie "Erfolgswahrscheinlichkeiten" für die Aussage bestimmen kann bei den diversen Strategien. Ich habe bisher die Wkt'en berechnet für die 4 möglichen Ergebnisse R-R,R-S,S-R,S-S bei jeweils den beiden Urnen mit oder ohne zurücklegen. Dies ist jedoch offensichtlich kein Maß für die Wkt. einer richtigen Aussage.

Die Frage ist schließlich, wie ich das Problem jetzt am sinnvollsten angehe...

Grüße
Wink
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kombinatorik, beste Strategie
Hallo,

meine Idee wäre, zunächst alle vorkommenden Wahrscheinlichkeiten formal zu definieren. Was sind das für Wahrscheinlichkeiten?

Grüße Abakus smile
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

1.) die Auswahl der Urne geschehe zufällig. 2.) die 2. Kugel wird aus derselben Urne gezogen

Das erscheint implizit. Trotzdem pingelig auf Explizität bestehen!
( 10000 Aufgaben aus diesem Bereich sind schon an der Sprachhürde "gescheitert")

eine Abstufung in 2 Stufen erscheint erstmal angebracht.

a.) R= rote Kugel wurde gezogen.

Welche Wkt gibt es nach dem ersten Zug für die Urnen?

Betrachtung der a posteriori Wkt's:



dass Urne A gewählt wurde, nach Bayes



dass Urne B gewählt wurde, nach Bayes

----------------------------------------------------
b.) S wurde gezogen

Betrachtung der a posteriori Wkt's:



dass Urne A gewählt wurde, nach Bayres



dass Urne B gewählt wurde, nach Bayes

wobei P(R) und P(S) nach dem Satz der totalen Wkt berechnet werden.

--------------------------------------------------------------

jetzt stehen 4 Wkt's zur Verfügung. Eine Entscheidung an dieser Stelle wäre einfach.

zur Strategie:

Eine Strategie ist eine Funktion, die jedem Knoten eines Spieles ( Baumes ) [oder einer Informationsmenge] eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf die unmittelbar folgenden Kanten zuordnet. Lehrer


Du solltest jetzt in allen 4 Fällen entscheiden wie der nächste Zug mit oder ohne Zurücklegen deine Rückwärtswahrscheinlichkeiten ändern und je nach dem Zahlenwert entscheiden was zu tun ist. d. h. deine Wahrscheinlichkeitsverteilung in den 4 Knoten besteht aus {1;0} in allen 4 Knoten.

{1;0}= {Zurücklegen; nicht Zurücklegen}
Shortstop Auf diesen Beitrag antworten »

Danke euch beiden schon mal sehr, ich werde mir das mal anschauen und melde mich dann ggf. nochmal!

LG
Shortstop Auf diesen Beitrag antworten »

Soo nachdem ich mir das Problem jetzt nochmal zu Gemüte geführt habe merke ich, dass es wider Erwarten doch noch ein bisschen hapert bei mir. Ich habe nun die bedingten Wkt.'en nach Bayes berechnet (die 4 Fälle, die Dopap auch schon ansprach).

Nun weiß ich jedoch nicht, wie ich jetzt die "kompletten" Wkt'en berechnen kann bzw. was Dopap damit meinte, dass ich "jetzt in allen 4 Fällen entscheiden wie der nächste Zug mit oder ohne Zurücklegen deine Rückwärtswahrscheinlichkeiten ändern und je nach dem Zahlenwert entscheiden" solle.

Muss ich dann sowas berechnen wie ?

edit: Dann hätte ich mit und ohne Zurücklegen 16 solcher Formeln zu berechnen. Könnte ich dann nicht nach diesen Wkt'en entscheiden, wie ich mich verhalten sollte?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Das geht in die richtige Richtung. Mir scheint aber, du brauchst trotzdem eine konkretere Betriebsanleitung.

Hat man eine Strategie gewählt, muss man ausrechnen, wie wahrscheinlich es ist, die richtige Urne genannt zu haben. Es ist plausibel, dass man dazu die Wahrscheinlichkeiten braucht, wobei X eine der Urnen und UV eine der Kugelkombinationen ist. Man könnte also mal mit dieser Tabelle anfangen:



Die Einträge kann man über ausrechnen. Und wegen kann man diesen Faktor, der in allen Zellen steht, auch weglassen und zum Schluss berücksichtigen.

In der ersten Spalte stehen die Wahrscheinlichkeiten für und . Auf welche Urne wird man tippen, wenn man SS gezogen hat? Der gesunde Menschenverstand sagt einem, die, in deren Zeile der größere Wert steht, und dass der Wert in der gewählten Zelle genau die Wahrscheinlichkeit ist, die richtige Urne genannt zu haben. Man braucht also nur die maximalen Einträge in jeder Spalte zu addieren, um die Gesamtwahrscheinlichkeit zu bekommen, die richtige Urne genannt zu haben.

Im Prinzip muss man das für jede der 4 Stragien machen. Dabei kommt aber jeder Eintrag in mehreren Tabellen vor. Mit Überlegungen, wie du sie ganz zu Anfang gemacht hast, kann man allerdings die richtige Strategie raten.

Fehlt noch die formale Begründung für den gesunden Menschenverstand. Für die Tabelleneinträge gilt auch

,

also genau das, was gesucht wird.

Ich bin bei der optimalen Strategie auf knapp 64 % gekommen.
 
 
Shortstop Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Huggy, danke erstmal für deine ausführliche Antwort!

Also ich fertige nun für die 4 Fälle

1. Kugel Rot, ohne zurücklegen ziehen
1. Kugel Rot, mit zurücklegen ziehen
2. Kugel Rot, ohne zurücklegen ziehen
2. Kugel Rot, mit zurücklegen ziehen

so eine Tabelle an (wobei ja pro Fall nur 2 Spalten berücksichtigt werden müssen, da 2 Fälle von Kugelkombinationen nicht mehr eintreten können) und entscheide dann.

Mir fehlt noch die Erleuchtung was deine letzte Formel angeht: Wieso genau erklärt diese jetzt den "gesunden Menschenverstand" und vor allem, was ist hier mit gemeint? Eine allg. Wkt für eine Kugelkombination lässt sich doch nur unter Betrachtung einer bestimmten Urne berechnen?!

Beste Grüße Wink

edit: Für den Fall erste Kugel rot, mit Zurücklegen ziehen ergäbe sich bei mir

Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kvnb
Also ich fertige nun für die 4 Fälle

1. Kugel Rot, ohne zurücklegen ziehen
1. Kugel Rot, mit zurücklegen ziehen
2. Kugel Rot, ohne zurücklegen ziehen
2. Kugel Rot, mit zurücklegen ziehen

so eine Tabelle an (wobei ja pro Fall nur 2 Spalten berücksichtigt werden müssen, da 2 Fälle von Kugelkombinationen nicht mehr eintreten können) und entscheide dann.

Nein, das geht doch gar nicht. Du musst dich doch vor dem Ziehen der 2. Kugel entscheiden, ob du zurücklegst oder nicht.

Die 4 Strategien sind:

1. Kugel beliebig: ohne zurücklegen
1. Kugel beliebig: mit zurücklegen
1. Kugel Schwarz: ohne zurücklegen, 1. Kugel Rot: mit zurücklegen
1. Kugel Schwarz: mit zurücklegen, 1. Kugel Rot: ohne zurücklegen

Für jede dieser Strategien brauchst du die Tabelle und jedesmal brauchst du alle 8 Einträge.

Zitat:
Mir fehlt noch die Erleuchtung was deine letzte Formel angeht: Wieso genau erklärt diese jetzt den "gesunden Menschenverstand" und vor allem, was ist hier mit gemeint? Eine allg. Wkt für eine Kugelkombination lässt sich doch nur unter Betrachtung einer bestimmten Urne berechnen?!

P(UV) ist die totale Wahrscheinlichkeit, die Kugelkombination UV zu ziehen. Natürlich kann man die berechnen und zwar über:



Aber das braucht man an dieser Stelle nicht. Es geht nur darum, dass der Tabelleneintrag, der anders berechnet wurde, auch in der von mir genannten Form interpretiert werden kann.

ist die Wahrscheinlichkeit, dass aus der Urne X gezogen wurde, wenn man die Kombination UV gezogen hat. Dies multipliziert mit der Eintrittswahrscheinlichkeit von UV ergibt einen Beitrag zur totalen Wahrscheinlichkeit, dass aus der Urne X gezogen wurde.

Das ist einfach die Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit. Etwas verwirrend mag sein, dass man bei dieser Aufgabe die Summe nicht für ein festes X (A oder B) bildet, sondern für jeden Summanden die Urne nimmt, die man nennt, wenn diese Kugelkombination gezogen wird. Aber man sucht ja auch die totale Wahrscheinlichkeit für die Urne, die man nennt, und die hängt vom Ergebnis der Ziehung ab.
Shortstop Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
Nein, das geht doch gar nicht. Du musst dich doch vor dem Ziehen der 2. Kugel entscheiden, ob du zurücklegst oder nicht.


Das stimmt, ich habe mich verschrieben! Tatsächlich meinte ich die 4 Fälle

1. Kugel Schwarz: ohne zurücklegen,
1. Kugel Rot: mit zurücklegen
1. Kugel Schwarz: mit zurücklegen,
1. Kugel Rot: ohne zurücklegen

Aber wieso brauche ich für jeden Fall alle 8 Einträge? Denn wenn die 1. Kugel Rot war, können die Kombinationen oder ja garnicht eintreten?

Und wieso genau muss ich die 2 Fälle

Zitat:
Original von Huggy
1. Kugel beliebig: ohne zurücklegen
1. Kugel beliebig: mit zurücklegen


ebenfalls betrachten? Ich darf ja nach dem Ziehen der ersten Kugel entscheiden, ob ich den zweiten Zug mit oder ohne Zurücklegen mache.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kvnb
Das stimmt, ich habe mich verschrieben! Tatsächlich meinte ich die 4 Fälle

1. Kugel Schwarz: ohne zurücklegen,
1. Kugel Rot: mit zurücklegen
1. Kugel Schwarz: mit zurücklegen,
1. Kugel Rot: ohne zurücklegen

Das sind keine Strategien. Jede Strategie muss eine Regel für beide Fälle R oder S der ersten Kugel enthalten. Es ist doch keine Strategie, wenn man eine Regel für 1. Kugel Schwarz macht und offen lässt, was man bei 1. Kugel Rot macht. Da hilft es auch nicht, wenn es bei einer anderen Strategie dafür eine Regel gibt, wobei bei der anderen Strategie wieder die Regel für 1. Kugel Schwarz fehlt.

Meine 4 Strategien enthalten jeweils eine Regel für 1. Kugel Schwarz und eine Regel für 1. Kugel Rot.
Shortstop Auf diesen Beitrag antworten »

Aaah jetzt verstehe ich dein Vorgehen. Hört sich sehr plausibel an, ich werds grad mal zu Papier bringen!

Ein riesiges Dankeschön schonmal für deine Bemühungen!
Shortstop Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Huggy! Ich habs nun so berechnet und meine optimale Strategie wäre [1. Kugel S: ohne Z. ; 1. Kugel R: mit Z.] mit Erfolgswkt. von ca. 63,7%!

Vielen vielen Dank smile
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist gut! Dann habe ich mich nicht verrechnet.
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