einfach zusammenhängend

27.05.2011, 17:57

Gast11022013

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einfach zusammenhängend

Meine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} U\subseteq \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ ein Gebiet.

Man zeige, dass die folgenden Definitionen des einfachen Zusammenhangs äquivalent sind:

(1) Es existiert ein Punkt $\begin{eqnarray*} p_0\in U \end{eqnarray*}$ , sodass jede geschlossene stetige Kurve in U mit Anfangs- und Endpunkt $\begin{eqnarray*} p_0 \end{eqnarray*}$ nullhomotop ist.

(2) Jede geschlossene stetige Kurve in U ist nullhomotop.

(3) Jede geschlossene stetige Kurve in U ist frei nullhomotop in U.

Meine Ideen:

$\begin{eqnarray*} (1)\Rightarrow (2) \end{eqnarray*}$ :

Habe bisher keine Idee.
Kann jemand helfen?

27.05.2011, 20:12

zweiundvierzig

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Gebiete sind insbesondere zusammenhängend. Wie hilft uns das hier?

27.05.2011, 20:31

Gast11022013

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Dass U zusammenhängend ist, bedeutet doch, dass U nicht in zwei disjunkte nichtleere offene Mengen zerlegt werden kann. Meinst Du das?

27.05.2011, 20:35

zweiundvierzig

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Das ist die allgemeine Definition, aber für Gebiete gilt noch etwas stärkeres.

27.05.2011, 20:39

Gast11022013

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Oh, das ist mir nicht bekannt.
verwirrt

verwirrt

27.05.2011, 20:49

zweiundvierzig

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Wie wär's mit Wegzusammenhang?

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27.05.2011, 20:53

Gast11022013

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Mir ist bekannt, dass aus wegzusammenhängend folgt: zusammenhängend.

Und für Gebiete gilt es auch andersherum?

27.05.2011, 21:01

Huy

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Jede offene, zusammenhängende Menge in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ ist auch wegzusammenhängend. Falls ihr das noch nicht wisst, so ist das nicht sonderlich schwer zu beweisen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

MfG

27.05.2011, 21:07

Gast11022013

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Zitat:

Original von Huy
Jede offene, zusammenhängende Menge in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ ist auch wegzusammenhängend. Falls ihr das noch nicht wisst, so ist das nicht sonderlich schwer zu beweisen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

MfG

Danke, das war mir nicht bekannt.

Jetzt muss ich mir wohl überlegen, was mir dies für den Schritt nach (2) hilft.

28.05.2011, 11:33

Gast11022013

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$\begin{eqnarray*} (1)\Rightarrow (2) \end{eqnarray*}$

Okay, U ist also wegzusammenhängend.

Jetzt mal angenommen, man hat eine andere geschlossene stetige Kurve in U mit Anfangs- und Endpunkt $\begin{eqnarray*} p_1\in U \end{eqnarray*}$ .

Jetzt wäre meine Idee folgende:

Man kann ja nun die Punkte $\begin{eqnarray*} p_0,p_1 \end{eqnarray*}$ miteinander verbinden. Wenn man dann eine geschlossene Kurve mit Anfangs- und Endpunkt $\begin{eqnarray*} p_0 \end{eqnarray*}$ hernimmt, die durch den Punkt $\begin{eqnarray*} p_1 \end{eqnarray*}$ geht, wird dann nicht die Kurve mit Anfangs- und Endpunkt $\begin{eqnarray*} p_1 \end{eqnarray*}$ auf den Punkt $\begin{eqnarray*} p_1 \end{eqnarray*}$ zusammengezogen? Bzw. wird nicht der Punkt $\begin{eqnarray*} p_1 \end{eqnarray*}$ am Ende zum Punkt $\begin{eqnarray*} p_0 \end{eqnarray*}$ und somit ist dann die geschlossene Kurve nullhomotop?

Sodass diese Kurve dann auch nullhomotop ist?

Das würde dann für alle solche Kurven gelten.

Irgendwie so - ist das meine Idee.

28.05.2011, 14:20

Gast11022013

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Ist die obige Idee einigermaßen sinnvoll?

31.07.2011, 17:01

Gast11022013

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Hallo! Auch diese Aufgabe ist eine Weile her und leider noch ungelöst.

Ich fange nochmal mit dem Schritt von (1) nach (2) an:

Sei $\begin{eqnarray*} p_0 \in U \end{eqnarray*}$ , so daß jede geschlossene stetige Kurve in U mit Anfangs- und Endpunkt $\begin{eqnarray*} p_0 \end{eqnarray*}$ nullhomotop ist.

Jetzt muss ich zeigen, daß jede geschlossene stetige Kurve in U nullhomotop ist.

Damit ist wohl gemeint:

Man nimmt eine Kurve, die Anfangs- und Endpunkt $\begin{eqnarray*} p_1 \end{eqnarray*}$ hat und muss zeigen, dass diese sich auf den Punkt $\begin{eqnarray*} p_1 \end{eqnarray*}$ zusammenziehen lässt, korrekt?

Oder bedeutet "nullhomotop" nicht zwangsläufig, dass sich eine geschlossene Kurve auf den Anfangs- und Endpunkt, sondern auf irgendeinen Punkt zusammenziehen lässt?

Im Fall, daß das so ist, ist meine Idee oben wohl okay.

Wenn es allerdings unbedingt der Anfangs- und Endpunkt sein muss, so habe ich keine Idee.

Edit:

Bei Forster steht:

"Eine Kurve $\begin{eqnarray*} [0,1]\to U \end{eqnarray*}$ mit Anfangs- und Endpunkt $\begin{eqnarray*} p_0 \end{eqnarray*}$ heißt nullhomotop, falls sie in U homotop zur Punktkurve in $\begin{eqnarray*} p_0 \end{eqnarray*}$ ist. Man sagt in diesem Fall auch, daß man die Kurve $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ auf den Punkt $\begin{eqnarray*} p_0 \end{eqnarray*}$ zusammenziehen kann."

Bei Königsberger steht:

"Eine geschlossene Kurve in $\begin{eqnarray*} X\subset \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ , die in X zu einer Punktkurve homotop ist, nennt man nullhomotop."

Das sind für mich zwei verschiedene Definitionen. Nach der ersten würde ich meinen, daß ich jetzt oben zeigen muss, dass die andere geschlossene Kurve sich auf $\begin{eqnarray*} p_1 \end{eqnarray*}$ zusammenziehen lässt, nach der zweiten würde ich meinen, daß es genügt zu zeigen, daß man auch diese Kurve auf $\begin{eqnarray*} p_0 \end{eqnarray*}$ zusammenziehen kann. verwirrt

verwirrt

31.07.2011, 18:25

Gast11022013

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Ich würde dann jetzt einfach mal Folgendes vorschlagen (damit es mal voran geht), indem ich mich an die Definition aus dem Königsberger halte:

$\begin{eqnarray*} (1)\Rightarrow (2) \end{eqnarray*}$ :

U ist Gebiet, d.h. insbesondere wegzusammenhängend.

Es sei $\begin{eqnarray*} \beta:[0,1]\to U \end{eqnarray*}$ eine geschlossene Kurve mit Anfangs- u. Endpunkt $\begin{eqnarray*} p_1 \end{eqnarray*}$ .

Dann könnte man einen stetigen Weg $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} p_0 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} p_1 \end{eqnarray*}$ nehmen und dann aus $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ einen neuen Weg bauen, der von mir aus $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ heißen kann.

Dieser soll von $\begin{eqnarray*} p_0 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} p_1 \end{eqnarray*}$ , von dort dann den Weg $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ und dann wieder den Weg $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ zurück gehen nach $\begin{eqnarray*} p_0 \end{eqnarray*}$ .

Dann hätte man meiner Meinung nach:

$\begin{eqnarray*} \beta=\gamma + \beta -\gamma \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ ist nullhomotop bezüglich $\begin{eqnarray*} p_0 \end{eqnarray*}$ .

Das heißt, daß man $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ auf einen Punkt zusammenziehen kann und damit ist $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ wohl nullhomotop.

Kann man das so machen?

$\begin{eqnarray*} (2)\Rightarrow (3) \end{eqnarray*}$ :

"Frei nullhomotop" bedeutet bei uns so viel wie, dass die Anfangs- und Endpunkte der einzelnen Kurven, die während der Deformation von der Kurve zur Punktkurve auftreten, nicht notwendigerweise fixiert sind.

Folgt dann nicht aus den Angaben, die die Homotopie erfüllen muss automatisch, dass diese insbesondere auch die der freien Homotopie erfüllt?

[dort werden ja sozusagen die Vorgaben über die Anfangs- und Endpunkte nur einfach weggelassen.

Ist diese Implikation nicht "klar"?

$\begin{eqnarray*} (3)\Rightarrow (1): \end{eqnarray*}$

Fixiere für jede Kurve als Anfangs- und Endpunkt den Punkt $\begin{eqnarray*} p_0 \end{eqnarray*}$ .

So, nun hoffe ich auf Eure Reaktionen!

31.07.2011, 20:24

Gast11022013

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Habe im letzten Beitrag meine Ideen zu den anderen Schritten ergänzt.

Hier nochmal die Definitionen, die wir hatten für homotop und frei homotop:

1.) homotop:

Sei $\begin{eqnarray*} U\subset \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ eine offene Menge, $\begin{eqnarray*} p_0,p_1\in U \end{eqnarray*}$ , und seien $\begin{eqnarray*} \alpha,\beta:[0,1]\to U \end{eqnarray*}$ zwei Kurven von $\begin{eqnarray*} p_0 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} p_1 \end{eqnarray*}$ , d.h.
$\begin{eqnarray*} \alpha(0)=\beta(0)=p_0, \alpha(1)=\beta(1)=p_1 \end{eqnarray*}$ .

Die beiden Kurven heißen homotop in U, falls es eine stetige Abbildung
$\begin{eqnarray*} A:[0,1]\times [0,1]\to U, (u,t)\mapsto A(u,t) \end{eqnarray*}$ mit folgenden Eigenschaften gibt:

i) $\begin{eqnarray*} A(0,t)=\alpha(t), A(1,t)=\beta(t) \forall t\in [0,1] \end{eqnarray*}$
ii) $\begin{eqnarray*} A(u,0)=p_0, A(u,1)=p_1 \forall u\in [0,1] \end{eqnarray*}$

2.) frei homotop:

$\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ heißt frei homotop zu $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ , falls es eine freie Homotopie zwischen $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ gibt, d.h. eine stetige Abbildung $\begin{eqnarray*} H:[0,1]\times [t_0,t_1]\to U \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} H(0,t)=\alpha(t), H(1,t)=\beta(t) \forall t\in [t_0,t_1] \end{eqnarray*}$ .

Hier sind die Anfangs- und Endpunkte der Kurven also nicht notwendigerweise fixiert.

31.07.2011, 23:27

milchglas

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Vorsicht mit der freien Homotopie! Nach Deiner Definition ist jede Kurve frei nullhomotop, weil man sie einfach in sich selbst zurückziehen kann (und dabei bei geschlossenen Kurven die Endpunkte auseinanderreißt): Ist $\begin{eqnarray*} \alpha: [0, 1] \to X \end{eqnarray*}$ eine Kurve, dann ergibt
$\begin{eqnarray*} H(t, s) := \alpha((1 - t)s) \end{eqnarray*}$
eine Homotopie auf die konstante Kurve $\begin{eqnarray*} s \mapsto \alpha(0) \end{eqnarray*}$ . Lies Dir mal den Wikipediaartikel zur Homotopie durch, insbesondere den Abschnitt „Relative Homotopie“.

Dein Beweis sieht für mich gut aus, bis auf die Gleichung am Ende (wie definierst Du Addition und Subtraktion von Kurven, sodass am Ende Gleichheit herrscht?). Da solltest Du besser eine Homotopie von $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ zur Null angeben.

01.08.2011, 11:38

Gast11022013

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Mir ist der Unterschied zwischen "frei (null-) homotop" und "(null-) homotop" wohl doch noch nicht ganz klar geworden, zumal die Begrifflichkeiten bei uns wohl anscheinend anders verwendet werden:

Das, was wir als "homotop" bezeichnet haben, wird anscheinend meist als "homotop mit festen Anfangs- und Endpunkten" bezeichnet und das, was wir "frei homotop" nennen, heißt üblicherweise anscheinend dann "homotop".

Verwirrung vorprogrammiert!

Vielleicht könnte mir jemand an einem Beispiel erklären, wie sich die Konzepte (egal, wie man sie jetzt nennt) unterscheiden - vielleicht am Begriff "nullhomotop" und "frei nullhomotop".

Das würde mich sicherlich weiterbringen!
Danke.

19.09.2011, 11:39

Gast11022013

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Ich verlinke mal eine Lösungsidee, die ich woanders gelesen habe und wüsste gerne, ob das dort okay ist. Vielleicht liest sich das ja jemand durch und kann mir das sagen?

[Mit meinen Resultaten hier bin ich nämlich (abgesehen von der Implikation $\begin{eqnarray*} (1)\Rightarrow (2) \end{eqnarray*}$ nicht so zufrieden.]

http://vorhilfe.de/read?i=820924

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