Folgen und Reihen Grenzwert berechnen

27.05.2011, 21:36

Gast1_2_3_4

Auf diesen Beitrag antworten »

Folgen und Reihen Grenzwert berechnen

Hallo,

komm bei dieser Aufgabe nicht weiter.

Aufgabe: Grenzwert bestimmen

$\begin{eqnarray*} a_{n}=\sqrt{4n^2+5n+2}-2n \end{eqnarray*}$

Idee:

$\begin{eqnarray*} a_{n}=\sqrt{4n^2+5n+2}-2n \end{eqnarray*}$ /////^2

$\begin{eqnarray*} {a_{n}}^2=4n^2+5n+2 -4n^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} {a_{n}}^2=5n+2 \end{eqnarray*}$

Ob das bis hier stimmt weiß ich nicht.

27.05.2011, 21:39

Pascal95

Auf diesen Beitrag antworten »

Binomische Formel beim Quadrieren!

27.05.2011, 23:23

Gast1_2_3_4

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe meinen Fehler leider nicht unglücklich

unglücklich

Die Wurzel fällt doch einfach weg oder und aus -2n wird +4n²

27.05.2011, 23:32

Pascal95

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du diesen Term
$\begin{eqnarray*} a_{n}=\sqrt{4n^2+5n+2}-2n \end{eqnarray*}$
quadrierst,

so erhältst du
$\begin{eqnarray*} a_{n}^2=(\sqrt{4n^2+5n+2}-2n)^2 \end{eqnarray*}$ .

Was ist nun $\begin{eqnarray*} (\sqrt{4n^2+5n+2}-2n)^2 \end{eqnarray*}$ ?

Es gilt:
2. Binomische Formel: $\begin{eqnarray*} (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \end{eqnarray*}$

28.05.2011, 01:05

Gast1_2_3_4

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} a_{n}^2=(\sqrt{4n^2+5n+2}-2n)^2 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} a_{n}^2=(4n^2+5n+2 -4n^2)-[2*(\sqrt{4n^2+5n+2}-2n)*(\sqrt{4n^2+5n+2}-2n)+4n^2+5n+2-4n^2] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n}^2= 8n^2+10n+4-8n^2-[2*(\sqrt{4n^2+5n+2}-2n)*\sqrt{4n^2+5n+2} -2n] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 10n+4-[2*(\sqrt{4n^2+5n+2} -2n)*(\sqrt{4n^2+5n+2}-2n)] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 10n+4-[2*(4n^2+5n+2)-2n*(\sqrt{4n^2+5n+2})-2n*(\sqrt{4n^2+5n+2})+4n^2 \end{eqnarray*}$

Stimmt das bis dahin ?

28.05.2011, 14:24

Pascal95

Auf diesen Beitrag antworten »

Das sieht nicht ganz korrekt aus.

Die 2. Binomische Formel sagt: $\begin{eqnarray*} (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \end{eqnarray*}$

Was ist denn hier $\begin{eqnarray*} (\sqrt{4n^2+5n+2}-2n)^2 \end{eqnarray*}$ das $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und das $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ?

Anzeige

28.05.2011, 14:28

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Bevor das hier so weiter läuft, die zweite binomische Formel ist hier fehl am Platze, stattdessen sollte man (unter Verwendung der dritten (!) binomischen Formel) geschickt erweitern.

28.05.2011, 14:49

Pascal95

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann soll der "Gast1_2_3_4" mal mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{4n^2+5n+2}+2n \end{eqnarray*}$ erweitern und dann die 3. binomische Formel erkennen.

28.05.2011, 15:22

Gast1_2_3_4

Auf diesen Beitrag antworten »

a= $\begin{eqnarray*} \sqrt{4n^2+5n+2} \end{eqnarray*}$

b= $\begin{eqnarray*} 2n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a+b)*(a-b)=a^2-b^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n}*\sqrt{4n^2+5n+2}=(\sqrt{4n^2+5n+2}-2n)* (\sqrt{4n^2+5n+2}+2n) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n}*\sqrt{4n^2+5n+2}= 4n^2+5n+2+2n*\sqrt{4n^2+5n+2}-2n*\sqrt{4n^2+5n+2}-4n^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n}*\sqrt{4n^2+5n+2}= 4n^2+5n+2-4n^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n}*\sqrt{4n^2+5n+2}= 5n+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n}=\frac{5n+2}{\sqrt{4n^2+5n+2}} \end{eqnarray*}$

28.05.2011, 15:26

Pascal95

Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht zwar nicht schlecht aus, aber wenn du erweitern willst, dann auf beiden Seiten.

Deswegen ist schon die erste Zeile $\begin{eqnarray*} a_{n}*\sqrt{4n^2+5n+2}=(\sqrt{4n^2+5n+2}-2n)* (\sqrt{4n^2+5n+2}+2n) \end{eqnarray*}$ falsch!

Du beginnst bei $\begin{eqnarray*} a_{n}=\sqrt{4n^2+5n+2}-2n \end{eqnarray*}$ und nun kannst du beide Seiten mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{4n^2+5n+2}+2n \end{eqnarray*}$ multiplizieren und dann die 3. binomische Formel erkennen.

28.05.2011, 16:01

Gast1_2_3_4

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} a_{n}*\sqrt{4n^2+5n+2}+2n=(\sqrt{4n^2+5n+2}-2n)* (\sqrt{4n^2+5n+2}+2n) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n}*\sqrt{4n^2+5n+2}+2n= 4n^2+5n+2+2n*\sqrt{4n^2+5n+2}-2n*\sqrt{4n^2+5n+2}-4n^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n}*\sqrt{4n^2+5n+2}+2n= 4n^2+5n+2-4n^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n}*\sqrt{4n^2+5n+2}+2n= 5n+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n}=\frac{5n+2}{\sqrt{4n^2+5n+2}+2n} \end{eqnarray*}$

Ich glaub ich hatte das 2n vergessen.

28.05.2011, 16:09

Pascal95

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt hast du die Klammern vergessen, aber du hast falsch weitergerechnet, dass du wieder auf das richtige Ergebnis gekommen bist Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} a_{n} \cdot ( \sqrt{4n^2+5n+2}+2n)=(\sqrt{4n^2+5n+2}-2n) \cdot (\sqrt{4n^2+5n+2}+2n) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n} \cdot ( \sqrt{4n^2+5n+2}+2n)=(\sqrt{4n^2+5n+2})^2 - (2n)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n} \cdot ( \sqrt{4n^2+5n+2}+2n)= 4n^2+5n+2-4n^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n} \cdot ( \sqrt{4n^2+5n+2}+2n)= 5n+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n}=\frac{5n+2}{\sqrt{4n^2+5n+2}+2n} \end{eqnarray*}$

So, hast du Ideen, wie es weitergeht ?

28.05.2011, 16:48

Gast1_2_3_4

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht so ?

$\begin{eqnarray*} a_{n}=\frac{\frac{5n+2}{n^2} }{\frac{\sqrt{4n^2+5n+2}+2n }{n^2} } \end{eqnarray*}$

Die Wurzel stört mich.

28.05.2011, 16:54

Pascal95

Auf diesen Beitrag antworten »

Das bringt dir nicht sehr viel, denn der Limes
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{5n+2}{n^2}= \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n}=0 \end{eqnarray*}$ so konvergiert gegen 0.

Schau dir doch mal an:
$\begin{eqnarray*} 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{4n^2+5n+2}+2n} + 5 \cdot \frac{n}{\sqrt{4n^2+5n+2}+2n} \end{eqnarray*}$

28.05.2011, 18:37

Gast1_2_3_4

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{4n^2+5n+2}+2n} \end{eqnarray*}$

Das müsste doch wegfallen, weil im Zähler kein n steht und somit das ganze gegen Null läuft.

Beim zweiten kann man vielleicht noch irgendwie das n ausklammern und dann wegkürzen.

Hab aber leider noch keinen Weg gefunden wie ...

28.05.2011, 18:42

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Gast1_2_3_4
Beim zweiten kann man vielleicht noch irgendwie das n ausklammern und dann wegkürzen.

Ja. Vorher innerhalb der Wurzel noch n² ausklammern, dann kannst du das da rausholen.

28.05.2011, 20:41

Gast1_2_3_4

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} 5 \cdot \frac{n}{\sqrt{4n^2+5n+2}+2n} \end{eqnarray*}$

Ist ja nichts anderes als:

$\begin{eqnarray*} \frac{5n}{(4n^2+5n+2)^{0,5}+2n } = \frac{5n}{n(\sqrt{...}+2)} \end{eqnarray*}$

Komm da von alleine auch nicht mehr viel weiter.

Falls das Ergebnis stimmen sollte weiß ich nicht wie man drauf kommt:

$\begin{eqnarray*} \frac{5n}{n(\sqrt{4+\frac{5}{n}+\frac{2}{n^2} }+2)} \end{eqnarray*}$

28.05.2011, 20:43

Pascal95

Auf diesen Beitrag antworten »

Das
$\begin{eqnarray*} \frac{5n}{n(\sqrt{4+\frac{5}{n}+\frac{2}{n^2} }+2)} \end{eqnarray*}$
ist richtig!

28.05.2011, 20:52

Gast1_2_3_4

Auf diesen Beitrag antworten »

n kürzt sich weg, Wurzel von 4 ist 2 und noch 2 addiert ist 4.

Dann kommt als Grenzwert: $\begin{eqnarray*} \frac{5}{4} \end{eqnarray*}$ herraus.

Aber nochmal zurück zum ausklammern vom n wie macht man das genau. Ich hab die Lösung nicht ganz von alleine hinbekommen.

28.05.2011, 20:58

Pascal95

Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr gut, das ist die Lösung smile

smile

Man hat $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ ausgeklammert, um sogenannte Nullfolgen zu erhalten.

Diese ergeben in Betracht auf den Limes für $\begin{eqnarray*} n\to \infty \end{eqnarray*}$ immer Null. Das ist die Eigenschaft dieser Nullfolgen (siehe Wikipedialink).

Wenn du z.B. hier: $\begin{eqnarray*} 10x^2+5x+10 \end{eqnarray*}$ das $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ ausklammerst, kommt $\begin{eqnarray*} x^2 \left( \frac{10x^2}{x^2}+\frac{5x}{x^2}+\frac{10}{x^2} \right) \end{eqnarray*}$ raus.

Das kann man noch verschönern:
$\begin{eqnarray*} 10x^2+5x+10 = x^2 \left( \frac{10x^2}{x^2}+\frac{5x}{x^2}+\frac{10}{x^2} \right) = x^2 \left( 10+\frac{5}{x}+\frac{10}{x^2} \right) \end{eqnarray*}$

28.05.2011, 21:31

Gast1_2_3_4

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt hab ich es verstanden vielen Dank für deine Hilfe und das du dir so viel Zeit genommen hast.

Freude

Freude

28.05.2011, 21:32

Pascal95

Auf diesen Beitrag antworten »

Jo, bitte.

Helfe gerne, wenn ich kann Wink

Wink

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »