Newton-Verfahren

28.05.2011, 14:58	energyfull	Auf diesen Beitrag antworten »
Newton-Verfahren Hallo an alle, ich habe eine frage bzgl. einer aufgabe die ich zwar gelöst habe aber mir nicht sicher bin ob es so richtig ist. also die aufgabe lautet: man soll mit einem taschenrechner die ersten Schritte ( also $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ des Newton-Verfahrens mit $\begin{eqnarray} x_0=1/2 \end{eqnarray}$ für die folgenden zwei nichtlinearen Probleme berechnen: a) finde x s.d $\begin{eqnarray} f(x)=x²-1=0 \end{eqnarray}$ b) finde x s.d $\begin{eqnarray} f(x)=x^{20}-1=0 \end{eqnarray}$ erklären sie die resultate mittels eines bildes. also die formel zum Newton-Verfahren haben wir wie folgt definiert: $\begin{eqnarray} x_{n+1} \end{eqnarray}$ =Nullstelle von $\begin{eqnarray} p(x)=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \end{eqnarray}$ zu a) Ich bin wie folgt gegangen: f(x)=x²-1 f'(x)=2x unser anfangswert ist $\begin{eqnarray} x_0=1/2 \end{eqnarray}$ dann ist $\begin{eqnarray} x_1=1/2+3/4=5/4 \end{eqnarray}$ jetzt ergibt sich: $\begin{eqnarray} x_2=5/4-9/40=41/40 \end{eqnarray}$ reicht das alles so? wenn ja ist ja die aufgabe sehr leicht. es steht ja noch erklären sie anhand eines bildes: meine erklärung: nullstellen liegen offenbar bei x=1 und x=-1. ich habe eine näherung gefunden.Ich erhalte also als Näherungswert für die gesuchte Nullstelle x = 1,025. genügt die erklärung so? zu b) da habe ich irgendwie sehr komische werte raus? f(x)=x^20-1 f'(x)=20x^19 $\begin{eqnarray} x_0=1/2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_1=1/2+26215,04341=26215,54341 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2=26215,54341-1310,777171=24904,76624 \end{eqnarray}$ das sind mir zu komische werte? kann einer mal drauf schauen bitte, wäre super lieb
28.05.2011, 19:15	Zitrone21	Auf diesen Beitrag antworten »
a) hab ich auch so (ich würde aber noch beide tangenten mit einzeichnen) b) $\begin{eqnarray} x1 = 209719 / 8 \approx 26214,875 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x2 \approx 24904,13125 \end{eqnarray}$
28.05.2011, 23:33	energyfull	Auf diesen Beitrag antworten »
ok dann zeichne ich noch bei beiden aufgaben die tangenten dazu. und vielen dank das du meinen fehler bei b) verbessert hast. nochmals danke und gute nacht

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