isomorphe gruppen

28.05.2011, 16:54

earthie

isomorphe gruppen

Hallo zusammen,

ich möchte gerne zeigen, dass die zwei Gruppen mit den folgenden Präsentationen
$\begin{eqnarray*} <a,b\;|\;aba=bab> \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} <x,y\;|\;x^{3}=y^{2}> \end{eqnarray*}$
isomorph sind.

Ich habe allerdings keine Idee für einen Isomorphismus.
Wie würdet ihr an eine solche Aufgabe herangehen?

Vielen Dank,
Gruss

earthie

28.05.2011, 19:05

juffo-wup

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist dir die Methode bekannt, die Äquivalenz von Präsentationen mit Hilfe der Tietze-Transformationen zu zeigen? (Es ist ziemlich leicht zu sehen, dass die Transformationen auf äquivalente Präsentationen führen und man kann auch zeigen, dass je zwei äquivalente Präsentationen sich durch eine Abfolge von solchen Umformungen ineinander überführen lassen.)

Diese Methode klappt hier ganz gut.

Als konkreten Tipp zu der Aufgabe:
Es gilt $\begin{eqnarray*} (ab)^3=(aba)(bab) \end{eqnarray*}$

edit: Du kannst das Ganze statt mit diesen Transformationen natürlich auch mit einem konkreten Isomorphismus beweisen, es läuft im Prinzip auf das Gleiche hinaus. Du musst dann eben die Erzeuger in der einen Präsentation irgendwie mit Wörtern in den Erzeugern der anderen Präsentation darstellen und beweisen, dass die so definierte Abbildung wohldefiniert, Homomorphismus etc. ist.

28.05.2011, 23:36

earthie

Auf diesen Beitrag antworten »

Halllo, danke für die Antwort.

Nein, kannte ich nicht. Aber sind einfach nachvollziehbar:

Erweitere erste Relation zu: (ab)^3=(bab)^2
und betrachte den Homomorphismus f mit folgender Eigenschaft
f(x)=ab
f(y)=bab
wohldefiniert.
edit: mit der Inverse g (wenn ich mich nicht verrechnet habe):
g(a)=(x^2)*(y^-1)
g(b)=y*(x^-1)
Also ist f der gesuchte Isomorphismus.

Ist dieser Beweis so korrekt oder gibt es nicht-triviales, das ich übersehen habe?

29.05.2011, 00:03

juffo-wup

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von earthie
und betrachte den Homomorphismus f mit folgender Eigenschaft
f(x)=ab
f(y)=bab
wohldefiniert.

Wie würdest du die Wohldefiniertheit beweisen?

Zitat:

edit: mit der Inverse g (wenn ich mich nicht verrechnet habe):
g(a)=(x^2)*(y^-1)
g(b)=y*(x^-1)

Ist richtig.

29.05.2011, 00:38

earthie

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von juffo-wup

Zitat:

Original von earthie
und betrachte den Homomorphismus f mit folgender Eigenschaft
f(x)=ab
f(y)=bab
wohldefiniert.

Wie würdest du die Wohldefiniertheit beweisen?

Ich versuchs mal:

Weil f für die Erzeuger von G2=<x,y|...> definiert ist, folgt die Eindeutigkeit von f für ganz G2, und weil G1=<a,b|...> abgeschlossen ist bezüglich Verknüfung ist f(G2) in G1 enthalten, also existiert f.

ok?

29.05.2011, 00:52

juffo-wup

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Sache ist, dass die Darstellung von Elementen aus <x,y|..> als endliches Produkt von x,y und deren Inversen nicht eindeutig ist. Zum Beispiel hat ja das Element $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ auch noch die andere Darstellung $\begin{eqnarray*} y^3. \end{eqnarray*}$
Daher ist nicht unmittelbar klar, dass die Abbildung wohldefiniert ist, wenn man nur sagt, dass ein Produkt von Erzeugern (und deren Inversen) auf das Produkt der entsprechenden Bilder abgebildet werden soll.
Man kann sich aber überlegen(*), dass die Abbildung von <E|R> in eine Gruppe G, die durch die Wahl von irgendwelchen Bildern für die Erzeuger in E induziert ist, wohldefiniert ist, wenn nur die Relationen in R abgebildet werden, wie man es erwarten würde.
Also hier müsste man zeigen, dass $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ das gleiche Bild wie $\begin{eqnarray*} y^3 \end{eqnarray*}$ hat.

(*): Zum Beispiel, wenn die Präsentation wie üblich als Faktorgruppe einer freien Gruppe definiert ist, universelle Eigenschaft der freien Gruppe plus Homomorphiesatz.

Neue Frage »

Antworten »

isomorphe gruppen

Verwandte Themen