Satz von Lagrange (bijektive Abbildung)

28.05.2011, 17:42

steviehawk

Satz von Lagrange (bijektive Abbildung)

Meine Frage:
So also ich soll zeigen, dass gilt:

Sei G eine Gruppe mit $\begin{eqnarray*} |G| < \infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H\subset G \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe von G, dann gibt es $\begin{eqnarray*} \forall g \in G \end{eqnarray*}$ eine bijektive Abbildung von $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} gH \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also zum Verständnis:

Ich nehme eine Teilemenge aus $\begin{eqnarray*} G = \left\{ g_1, ... ,g_n\right\} \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} H = \left\{ h_1, ... , h_l\right\} \end{eqnarray*}$ und multiplieziere eine $\begin{eqnarray*} g \in G \end{eqnarray*}$ dran.

dann sieht doch $\begin{eqnarray*} gH \end{eqnarray*}$ so aus: $\begin{eqnarray*} gH = \left\{ gh_1, ... , gh_l\right\} \end{eqnarray*}$ .

So und jetzt muss ich zeigen, dass es eine bijektive Abbildung von H nach gH gibt. Allerdings bilde ich doch von H nach gH ab, und ich soll ja für alle $\begin{eqnarray*} g \in G \end{eqnarray*}$ eine Abbildung definieren, aber es liegen ja garnicht alle $\begin{eqnarray*} g \in G \end{eqnarray*}$ auch in $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ drin...

Wie kann ich dann alle $\begin{eqnarray*} g \in G \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} gH \end{eqnarray*}$ abbilden?

28.05.2011, 18:26

zweiundvierzig

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Es geht um eine Bijektion $\begin{eqnarray*} H \to gH \end{eqnarray*}$ . Wirklich kreativ muss man da nicht sein.

28.05.2011, 20:30

steviehawk

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Naja dann würde ich wohl mein $\begin{eqnarray*} h_i \end{eqnarray*}$ auf mein $\begin{eqnarray*} gh_i \end{eqnarray*}$ abbilden:

also: $\begin{eqnarray*} f(h_i) = gh_i \end{eqnarray*}$ aber dann finde ich doch nur für die Elemente von H eine Abbidlung von H nach gH, was ist dann mit der Anforderung, dass es eine Bijketion für alle $\begin{eqnarray*} g \in G \end{eqnarray*}$ geben muss?

28.05.2011, 21:05

zweiundvierzig

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Für alle $\begin{eqnarray*} g \in G \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f_g \colon H \to gH, ~ h \mapsto gh \end{eqnarray*}$ eine bijektive Abbildung. Genau das war doch die gewünscht.

Im Beweis des Satzes von Lagrange kannst Du nun folgern, dass alle Nebenklassen gleichmächtig sind.

30.05.2011, 15:08

steviehawk

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okay der Groschen ist gefallen smile

.

Nun muss ich ja zeigen, dass diese Abbildung $\begin{eqnarray*} f_g: H \to gH, h \to gh \end{eqnarray*}$
eine bijektivie Abbildung ist:

Beweis Surjektivität:

Sei $\begin{eqnarray*} M_g = (g) \end{eqnarray*}$ die Abbildungsmatrix von $\begin{eqnarray*} f_g \end{eqnarray*}$ ,dann hat M vollen Rang und so ist das Bild von M und so auch von f = gH.

Wenn $\begin{eqnarray*} im(f) = gH \end{eqnarray*}$ ist, ist f surjektiv.

Beweis Injektivität:
Da H und gH die gleiche Dimension haben folgt aus der Dimensionsformel:

$\begin{eqnarray*} H = ker(f) + im(f) \end{eqnarray*}$ also ist $\begin{eqnarray*} gH = ker(f) + im(f), \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} im(f) = gH \end{eqnarray*}$ ist, muss $\begin{eqnarray*} ker(f) = 0 \end{eqnarray*}$ sein, und dann ist f auch injektiv.

da injektiv und surjektiv ist f bijektiv.

passt das so?

Wollte es erst so machen:

Beweis Injektivität:

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(0) = f^{-1}(gh) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} gh = 0 \end{eqnarray*}$ , also ist für $\begin{eqnarray*} g \neq 0 \end{eqnarray*}$ auf jeden Fall $\begin{eqnarray*} h = 0 \end{eqnarray*}$ und der $\begin{eqnarray*} ker(f) = 0 \end{eqnarray*}$ und die Abbidlung ist injektiv, und da $\begin{eqnarray*} dim(h) = dim(gH) \end{eqnarray*}$ ist f auch surjektiv.

was ist abber von $\begin{eqnarray*} g = 0 \end{eqnarray*}$ ist? dann ist $\begin{eqnarray*} f_{g=0}: H \to gH, f(h) = 0 \end{eqnarray*}$ die Nullabbildung und diese ist nicht bijektiv???

30.05.2011, 15:31

zweiundvierzig

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Wo kommen hier bitte Matrizen her? Wir haben Gruppen vorliegen, keine Vektorräume. Insbesondere haben wir (zunächst) auch gar keinen Dimensionsbegriff zur Verfügung.

Zur Bijektivität genügt es, eine inverse Abbildung anzugeben, d.h. eine Abbildung $\begin{eqnarray*} \tilde f_g \colon gH \to H \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f_g \circ \tilde{f}_g = \mathrm{id}_{gH} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \tilde{f}_g \circ f_g = \mathrm{id}_{H} \end{eqnarray*}$ .

Edit: Die Translate $\begin{eqnarray*} gH \end{eqnarray*}$ sind für $\begin{eqnarray*} g \neq 1 \end{eqnarray*}$ übrigens nichtmal Gruppen!

30.05.2011, 15:42

steviehawk

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okay hab mich wohl zu lange mit Vektorräumen und zu wenig mit Gruppen beschäftigt:

Wenn $\begin{eqnarray*} f_g: H \to gH, f_g(h) = gh \end{eqnarray*}$ ist, dann ist doch einfach

$\begin{eqnarray*} f_g^{-1}: gH \to H \end{eqnarray*}$ diese Funktion: $\begin{eqnarray*} f_g^{-1}(gh) = h \end{eqnarray*}$

dann ist $\begin{eqnarray*} f_g^{-1} \circ f_g (h) = h = id_H \end{eqnarray*}$

dann habe ich eine Inverseabbildung gefunden und der Beweis ist fertig oder wie?

30.05.2011, 15:51

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von steviehawk
$\begin{eqnarray*} f_g^{-1}: gH \to H \end{eqnarray*}$ diese Funktion: $\begin{eqnarray*} f_g^{-1}(gh) = h \end{eqnarray*}$

Im Prinzip ja, aber schreibe lieber $\begin{eqnarray*} \tilde{f}_g(x) := g^{-1}x \end{eqnarray*}$ . Dann ist direkt klar, dass wir hier etwas Wohldefiniertes machen. Natürlich kommt dabei genau die Funktion heraus, die Du definiert hast.

Zitat:

Original von steviehawk
dann ist $\begin{eqnarray*} f_g^{-1} \circ f_g (h) = h = id_H \end{eqnarray*}$

Die Kürzbarkeit auf der anderen Seite musst Du aber auch noch aufschreiben.

Zitat:

Original von steviehawk
dann habe ich eine Inverseabbildung gefunden und der Beweis ist fertig oder wie?

Naja, damit ist gezeigt, dass alle Nebenklassen gleichmächtig sind. Der Satz von Lagrange geht ja noch ein klein wenig weiter. Wenn es wirklich die Aufgabe ist, diesen zu beweisen, dann solltest Du noch etwas dazu schreiben.

30.05.2011, 18:37

steviehawk

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okay klar, dass das noch etwas ausführlicher geht smile

Also ich muss jetzt noch weiter zeigen, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} |G| = |H| \cdot |G/H| \end{eqnarray*}$

Also was heißt denn das mit den Betragsstrichen? Denke das gibt die Anzahl der Elemente an oder? Also: $\begin{eqnarray*} |G| < \infty \end{eqnarray*}$ heißt, dass G nur endlich viele Elemente besitzt.

So und wie ist der Malpunkt dann zu verstehen? Mächtigkeit von H mal der Mächtigkeit von G/H ist gleich der Mächtigkeit von G oder wie?

Bzw, wenn ich die Mächtigkeit von G durch die Mächtigkeit von H Teile, dann bekomme ich die Mächtigkeit von G/H...

Versteh eh noch nicht ganz was jetzt mein G/H ist? ist das ganz G ohne die Element die in H liegen?

Danke für die Hilfe!!!

30.05.2011, 18:41

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von steviehawk
Also was heißt denn das mit den Betragsstrichen? Denke das gibt die Anzahl der Elemente an oder? Also: $\begin{eqnarray*} |G| < \infty \end{eqnarray*}$ heißt, dass G nur endlich viele Elemente besitzt.

So und wie ist der Malpunkt dann zu verstehen? Mächtigkeit von H mal der Mächtigkeit von G/H ist gleich der Mächtigkeit von G oder wie?

Bzw, wenn ich die Mächtigkeit von G durch die Mächtigkeit von H Teile, dann bekomme ich die Mächtigkeit von G/H...

Ganz genau. Beachte, dass solche Umformungen mit Divisionen nur funktionieren, wenn überall eine Zahl und nicht $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ steht.

Zitat:

Original von steviehawk
Versteh eh noch nicht ganz was jetzt mein G/H ist? ist das ganz G ohne die Element die in H liegen?

Das habt ihr definiert. Es handelt sich um die Menge der Nebenklassen bezüglich $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} G/H = \{gH \colon g \in G \} \end{eqnarray*}$ .

30.05.2011, 20:31

steviehawk

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Ich muss zeigen, dass $\begin{eqnarray*} |G| = |H| \cdot |G/H| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ ist ein Normalteiler von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} G = \left\{g_1, ..., g_n\right\} \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} H = \left\{h_1, ..., h_j\right\} \end{eqnarray*}$
dann ist $\begin{eqnarray*} G/H = \left\{ gH, g\in G \right\} = \left\{ gh_1, ..., gh_j\right\} \end{eqnarray*}$

das heißt es gilt: $\begin{eqnarray*} |H| = |G/H| \end{eqnarray*}$

laut unserem Aufgabenblatt ist ein Normalteiler H eine Untergruppe von G für die zusätzlich gilt: $\begin{eqnarray*} g^{-1}Hg \subset H \end{eqnarray*}$

wie kann das zum Beweis der obigen Gleichung helfen?

30.05.2011, 20:42

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von steviehawk
dann ist $\begin{eqnarray*} G/H = \left\{ gH, g\in G \right\} = \left\{ gh_1, ..., gh_j\right\} \end{eqnarray*}$

Nein, das ist falsch! Links steht eine Menge von Mengen (nämlich Nebenklassen), rechts hingegen eine Menge von Elementen aus $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ alleine schon daher kann es nicht stimmen.

Zitat:

Original von steviehawk
das heißt es gilt: $\begin{eqnarray*} |H| = |G/H| \end{eqnarray*}$

Auch das ist im allgemeinen nicht der Fall.

Guck' Dir bitte Konstruktion und Eigenschaften der Faktormenge noch einmal an. Es ist $\begin{eqnarray*} G/H \end{eqnarray*}$ ein Mengensystem mit einer speziellen Eigenschaft, nämlich welcher? Dies ist auch der Schlüssel zur Aufgabe.

Der ganze Satz gilt übrigens für allgemeine Untergruppen, nicht nur für Normalteiler.

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