Lineare Unabhängigkeit, Basis und Dimension von Vektoren gelöst

11.12.2006, 22:10

gibson

Lineare Unabhängigkeit, Basis und Dimension von Vektoren *gelöst*

Hi all!

Man soll zeigen, für welche Welche Werte $\begin{eqnarray*} \beta \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ von den drei Vektoren
$\begin{eqnarray*} v1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} , v2 = \begin{pmatrix} \beta \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}, v3 = \begin{pmatrix} 1 \\ \beta \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
linear unabhängig ist. Außerdem soll man im Fall $\begin{eqnarray*} \beta = 2 \end{eqnarray*}$ einen Basis von den 3 Vektoren aufgespannten UR finden und dessen Dimension bestimmen.

Nun, wenn ich mich nicht täusche überprüft man die lineare Unabhängigkeit so:
$\begin{eqnarray*} \lambda_1 * \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda_2 * \begin{pmatrix} \beta \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + \lambda_3 * \begin{pmatrix} 1 \\ \beta \\ 1 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$
Allerdings verstehe ich nicht, wie man dann das Gleichungssystem löst. Meines Achtens würde hier "false" rauskommen, oder??

bitte um hilfe unglücklich

11.12.2006, 22:32

tigerbine

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RE: Lineare Unabhängigkeit, Basis und Dimension von Vektoren
Betrachte das Gleichungssystem mal in der Schreibweise Ax =b, wobei die Vektoren v die Spalten von A sind.

$\begin{eqnarray*} det(A) \neq 0 \end{eqnarray*}$ -> Matrix regulär -> nur triviale lösung -> linear unabhängig

sonst linear abhängig.

11.12.2006, 22:43

gibson

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ich verstehe nicht ganz was du meinst... Eig. sollen wir das nicht mittels Matrix lösen. Und was meinst du mit det(A) ? Sry, ich glaube das haben wir in der Vorlesung noch nicht besprochen.
Gibt es keinen anderen Lösungsweg dafür?

11.12.2006, 22:50

tigerbine

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Ok, Du hörst LinAI? Nach "Definition" sind die Vektoren linear unabhängig, wenn sie sich nur trivial zum Nullvektor kombinieren lassen. Formal hast du ja schon higeschrieben:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 * \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda_2 * \begin{pmatrix} \beta \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + \lambda_3 * \begin{pmatrix} 1 \\ \beta \\ 1 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

Es darf also neben $\begin{eqnarray*} \lambda_1=\lambda_2 = \lambda_3 =0 \end{eqnarray*}$ keine weitere Lösung geben.

nun müssen wir das Gleichungssystem Lösen, am besten mit Gauß, wenn ihr das schon hattet.. Wir schreiben zeilenweise:

$\begin{eqnarray*} 1\lambda_1 + ß \lambda_2 + 1\lambda_3 =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2\lambda_1 + 1\lambda_2 + ß\lambda_3 =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1\lambda_1 - 1\lambda_2 + 1\lambda_3 =0 \end{eqnarray*}$

11.12.2006, 22:51

Mathespezialschüler

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Hmmm, du musst doch "nur" das GLS

$\begin{eqnarray*} \lambda_1+\beta\lambda_2+\lambda_3=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2\lambda_1+\lambda_2+\beta\lambda_3=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_1-\lambda_2+\lambda_3=0 \end{eqnarray*}$

lösen.

Gruß MSS

11.12.2006, 23:11

gibson

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ehrlich gesagt, haben wir das so in der Schule nie gelernt, naja jetzt ist es zu spät smile

ok, geht man hier so vor, indem man zuerst $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ und anschließend $\begin{eqnarray*} \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \end{eqnarray*}$ findet?
Wenn ja kommt bei mir für $\begin{eqnarray*} \beta = -1 \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} \lambda_1=\lambda_2= \lambda_3 = 0 \end{eqnarray*}$ . Kann das stimmen?

11.12.2006, 23:22

piloan

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vorgehensweise:

eine Gleichung nach einer Variable aufloesen und in die beiden anderen Gleichungen einsetzen.
nun hast du 2 Gleichungen mit 2 Variablen.nun loest du wieder eine Gleichung nach einer beliebigen Variable auf und setzt in die andere Gleichung ein. Nun hast du 1 Gleichung mit einer Variable.

nun kannst du das auch mit Gleichsetzen,Additons bzw Substraktionsverfahren loesen.

hier zb addition

http://de.wikipedia.org/wiki/Additionsverfahren_(Mathematik)

11.12.2006, 23:36

gibson

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Zitat:

so habe ich das auch gemacht:

$\begin{eqnarray*} I: \lambda_1+\beta\lambda_2+\lambda_3=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} II: 2\lambda_1+\lambda_2+\beta\lambda_3=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} III: \lambda_1-\lambda_2+\lambda_3=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I: \lambda_1+\lambda_2 \beta + \lambda_3 = 0 \Rightarrow I' : \lambda_1 = -\lambda_2\beta - \lambda_3 \end{eqnarray*}$

eigesetzt in III:
$\begin{eqnarray*} III: -\lambda_2\beta - \lambda_3 -\lambda_2+\lambda_3=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \beta = -1 \ und \ \lambda_2 = 0 \end{eqnarray*}$

Danach lässt sich leicht ausrechnen, dass:
$\begin{eqnarray*} \lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0 \end{eqnarray*}$

allerdings frage ich mich, warum man ein Ergebnis für $\begin{eqnarray*} \beta\ \end{eqnarray*}$ bekommt. Das sollte doch normalerweise nicht der Fall sein, oder?

12.12.2006, 00:13

Mathespezialschüler

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Aus $\begin{eqnarray*} -\lambda_2\beta-\lambda_2=0 \end{eqnarray*}$ folgt ja auch nicht $\begin{eqnarray*} \lambda_2=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta=-1 \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} \lambda_2=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \beta=-1 \end{eqnarray*}$ . Beide Fälle müssen nochmal getrennt betrachtet werden!

Gruß MSS

12.12.2006, 00:33

gibson

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ach, ich komm einfach nicht auf dieses blöde $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ ! Wenn man die Fallunterscheidung macht, kommt wieder eine Fallunterscheidung und noch eine usw... dann wird die ganze Rechnung ja 3 Seiten lang böse

12.12.2006, 00:57

Mathespezialschüler

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So schlimm ist das doch nicht. Vertausche zunächst die erste und die dritte Gleichung.

$\begin{eqnarray*} &I:&\lambda_1-\lambda_2+\lambda_3=0 \\ &II:&2\lambda_1+\lambda_2+\beta\lambda_3=0 \\ &III:&\lambda_1+\beta\lambda_2+\lambda_3=0 \end{eqnarray*}$

Geschickt Additionsverfahren anwenden:

$\begin{eqnarray*} &I:&\lambda_1-\lambda_2+\lambda_3=0 \\ &I+II:&3\lambda_1+(1+\beta)\lambda_3=0 \\ &III-I:&(1+\beta)\lambda_2=0 \end{eqnarray*}$

Fall 1: $\begin{eqnarray*} \beta=-1 \end{eqnarray*}$ . Dann liegt lineare Abhängigkeit vor.
Fall 2: $\begin{eqnarray*} \beta\neq -1 \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} \lambda_2=0 \end{eqnarray*}$ und es bleibt das GLS

$\begin{eqnarray*} &I':&\lambda_1+\lambda_3=0 \\ &II':&3\lambda_1+(1+\beta)\lambda_3=0 \end{eqnarray*}$

Umformen:

$\begin{eqnarray*} &I':&\lambda_1+\lambda_3=0 \\ &II'-3I':&(\beta-2)\lambda_3=0 \end{eqnarray*}$

Fall 2.1: $\begin{eqnarray*} \beta=2 \end{eqnarray*}$ . Dann liegt wieder lineare Abhängigkeit vor.
Fall 2.2: $\begin{eqnarray*} \beta\neq 2 \end{eqnarray*}$ . Was gilt dann für $\begin{eqnarray*} \lambda_3 \end{eqnarray*}$ ?

Wann liegt damit insgesamt lineare Unabhängigkeit vor?

Gruß MSS

12.12.2006, 01:10

gibson

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achsooooooo jetzt komm ich gerade drauf smile

also:
$\begin{eqnarray*} \lambda_3 = 0 \end{eqnarray*}$
D.h. lineare Abhängigkeit liegt von, wenn $\begin{eqnarray*} \beta = 2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \beta = -1 \end{eqnarray*}$ !!!! für alle anderen $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ (zb.: $\begin{eqnarray*} \beta =6327823628^{5} \end{eqnarray*}$ ) liegt lineare Unabhängigkeit vor Big Laugh

dankeschöööön

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