Gleichmächtigkeit von [0,1] und [0,1[

29.05.2011, 20:56

Pascal95

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Gleichmächtigkeit von [0,1] und [0,1[

Hallo,

ich frage mich, ob es eine Möglichkeit gibt, nachzuweisen, dass die Menge der Punkte in dem Intervall $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ gleichmächtig zu der Menge der Punkte im Intervall $\begin{eqnarray*} [0,1[ = [0,1) \end{eqnarray*}$ ist.

Dazu müsste man bestimmt eine bijektive Funktion $\begin{eqnarray*} f:\ [0,1] \to [0,1[ \end{eqnarray*}$ finden.

Allerdings sind diese Mengen wiederum gleichmächtig, da sie beide gleichmächtig zu ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ sind.

Oder ist $\begin{eqnarray*} [0,1]=[0,1[ \end{eqnarray*}$ ? (hat also [0,1] sogar alle Elemente gleich wie [0,1[ ? )
$\begin{eqnarray*} [0,1[ \end{eqnarray*}$ hat ja kein Maximum in dem Sinne, dafür ein Supremum, und zwar $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ . Könnte man nicht sagen, dass sie gleichmächtig sind, da $\begin{eqnarray*} 0,\overline 9 =1 \end{eqnarray*}$ gilt?
Anderseits ist $\begin{eqnarray*} 1 \not \in [0,1[ \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

Dann müsste man also doch eine Bijektion angeben, nur wie soll die hier aussehen?

Bijektionen, wie z.B. folgende sind ja nicht schwierig:
$\begin{eqnarray*} f_1:\ [0,1] \to [-1,1], \ \ x\mapsto 2x-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_2:\ [1,2] \to [4,6], \ \ x\mapsto 2x+2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_3:\ [10,11] \to [55,66], \ \ x\mapsto 11x-55 \end{eqnarray*}$

Doch wie sollte man das im oben genannten Fall machen?

Vielen Dank für Vorschläge smile

smile

29.05.2011, 21:11

Abakus

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RE: Gleichmächtigkeit von [0,1] und [0,1[
Also die 1 ist im halboffenen Intervall [0, 1[ natürlich nicht enthalten.

Eine solche Bijektion zu finden, könnte knifflig sein; in jedem Fall muss es eine unstetige Funktion sein.

Eine solche Konstruktion (etwas allgemeiner als hier gesucht) findest du bei Wiki, Satz von Cantor-Schröder-Bernstein. Ausgangspunkt sind dabei 2 injektive Abbildungen.

Abakus smile

smile

29.05.2011, 21:29

Pascal95

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Hmm, danke für deine Antwort.

Den Inhalt des Satzes von Satz von Cantor-Schröder-Bernstein kenne ich.

Aber inwiefern sollte mir das helfen?

Vielleicht so?
Wenn es eine Injektion von A nach B gibt, und eine Injektion von B nach A, dann gibt es eine Bijektion von A nach B (und von B nach A).
$\begin{eqnarray*} f_1:\ A\to B \ \ \text{ist injektiv} \ \ \land \ \ f_2:\ B\to A \ \ \text{ist injektiv} \ \ \ \Rightarrow \ \ \ f_1:\ A\to B \ \ \text{ist bijektiv} \end{eqnarray*}$

29.05.2011, 21:36

Abakus

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Zitat:

Original von Pascal95
Den Inhalt des Satzes von Satz von Cantor-Schröder-Bernstein kenne ich.

Aber inwiefern sollte mir das helfen?

Die injektiven Abbildungen findest du recht schnell, nehme ich an?

Schau dir den Beweis des Satzes bei Wiki an, der enthält eine sehr "trickige" Konstruktion dazu.

Und nein, aus der Injektivität kannst du die Bijektivität iA nicht folgern.

Abakus smile

smile

29.05.2011, 21:44

Pascal95

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Meinst du die Injektion(en), die im Abschnitt "Satz" erwähnt werden, oder was dann in "Beweisidee" kommt?

Im Abschnitt "Satz" heißt es:

Zitat:

Seien $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ Mengen mit einer Injektion $\begin{eqnarray*} f: A \to B \end{eqnarray*}$ und einer Injektion $\begin{eqnarray*} g: B \to A \end{eqnarray*}$ . Dann existiert eine Bijektion $\begin{eqnarray*} h: A\to B \end{eqnarray*}$ .

29.05.2011, 21:49

Abakus

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Ich meine alles das, was unter Beweisidee steht (es braucht Zeit, das zu verstehen...).

Abakus smile

smile

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29.05.2011, 22:01

Pascal95

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Ich denke, das lese ich mir lieber morgen mal durch.

Dann bin ich konzentrierter...

Gute Nacht Wink

Wink

30.05.2011, 23:06

Pascal95

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Hallo,

ich habe mir nun die Beweisidee mehrmals angesehen und auch nach "einfacherern" Formulierungen gesucht.

Allerdings muss ich ja gestehen, dass das ein ziemlich kurzer Abschnitt ist..

Mit $\begin{eqnarray*} f(X) \end{eqnarray*}$ ist wohl die Menge der Funktionswerte gemeint, die angenommen werden, wenn man alle Elemente aus $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ einsetzt?
Dazu muss doch $\begin{eqnarray*} X \subseteq \text{Definitionsmenge von }X \end{eqnarray*}$ sein.

Kann man dann sagen?

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} f:\ A \to B \end{eqnarray*}$ ist eine Funktion und sei $\begin{eqnarray*} X \subseteq A \end{eqnarray*}$ .
Dann ist $\begin{eqnarray*} f(X) = \{ f(x) \ | \ x\in X \} \end{eqnarray*}$ .

Das soll nur dem Verständnis dienen...

Wenn ich soetwas einfaches nicht begreifen würde, würde es böse aussehen...

Deswegen möchte ich den Beweis Schritt für Schritt langsam durchgehen.

31.05.2011, 23:46

Pascal95

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Das würde ich aber gerne mal wissen, ob meine Vermutung da richtig ist, was soetwas wie $\begin{eqnarray*} f(X) \end{eqnarray*}$ bedeutet. Oder liege ich da völlig daneben? verwirrt

verwirrt

01.06.2011, 00:23

Quadratzahl-Jan

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Das stimmt, ja.

(Übrigens: Eine explizite Bijektion anzugeben, ist gar nicht so schwer, wenn man einmal die richtige Idee hat.)

01.06.2011, 00:25

Pascal95

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Moin, Quadratzahl-Jan.

Danke für die Bestätigung smile

smile

Hättest du denn eine Idee für die Bijektion?
Du musst sie natürlich nicht verraten, aber hättest du tatsächliche eine bijektive explizite Vorschrift ?

01.06.2011, 00:35

Quadratzahl-Jan

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Ja. Ich gebe mal einen Tip.
Das Intervall [0,1[ ist eine Teilmenge von [0,1] .
Wäre die 1 in [0,1[ auch enthalten, könntest du ja einfach die Identität nehmen.
Du musst also sozusagen ein Element aus [0,1] in [0,1[ "verschwinden" lassen.
Denk auch mal an andere Bijektionen von Mengen, bei denen eine Menge Teilmenge der zweiten ist.

01.06.2011, 00:39

Pascal95

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Naja,

ich möchte hier ja nichtrumraten, aber genau das Problem habe ich erkannt:
Welchen Funktionswert nimmt die 1 an?

Bei den Bijektionen, die ich in dem ersten Post genannt habe, funktioniert das ja ganz einfach mit linearen Funktionen.
Wenn man aber z.B. das Intervall [0,1] auf ganz R abbilden möchte, hilft einem die Tangensfunktion, hier auch?

Oder kann man tatsächlich f(1) noch irgendwo "zwischen quetschen"? (ja ich weiß, nicht mathematisch).

01.06.2011, 00:51

Quadratzahl-Jan

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Die Tangensfunktion ist stetig, damit wirst du nicht zum Ziel kommen. f kann nicht stetig sein,
denn da f ja als Bijektion auch surjektiv ist, würde folgen, dass [0,1[ kompakt ist als Bild einer kompakten Menge (das Intervall [0,1] ist kompakt) unter einer stetigen Abbildung. Aber [0,1[ ist nicht kompakt.

Da du ja ein noch etwas jüngerer Mathematiker bist, ist es keine Schande, wenn dir solche Sachen noch nicht so viel sagen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nimm es sonst einfach erst mal so hin.

Noch ein weiter Tip: Eine Bijektion von $\begin{eqnarray*} \left\{ 0,1,2,3,...\right\} \end{eqnarray*}$
nach $\begin{eqnarray*} \left\{ 1,2,3,...\right\} \end{eqnarray*}$ kennst du schon.

01.06.2011, 00:55

Pascal95

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Meinst du:
$\begin{eqnarray*} f:\ \{ x \in \mathbb Z \ | \ x\geq 0\} \to \{ x \in \mathbb Z \ | \ x\geq 1\}, \ x\mapsto x+1 \end{eqnarray*}$
ist eine Bijektion

Ich habe hier auf die Bezeichnung $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ verzichtet, da es unklar ist, ob $\begin{eqnarray*} 0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$

01.06.2011, 01:08

Quadratzahl-Jan

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Genau die

smile

Mit der hast du die 0 "weggezaubert".

Du wirst am Schluss sehen, dass du aus dem Intervall [0,1[ auch z.B. 1000 Punkte entfernen kannst, so gar abzählbar unendlich viele, und du kannst immer noch eine Bijektion finden mit diesem Trick.
Dein f ist sozusagen fast überall die Identität, nur auf einer abzählbaren Teilmenge ist sie verändert worden.

01.06.2011, 01:32

Pascal95

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ok, danke
das stell ich mir aber bei den reellen zahlen schwieriger vor und das ist ja ein abgeschl intervall im gegensatz zum bsp...

das ist ja so Ã¤hnlich wie die gleichmÃ¤chtigkeit der irrationalen zahlen und der reellen

01.06.2011, 01:38

Quadratzahl-Jan

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Im Grunde spielt es auch keine Rolle, welche abzählbare Teilmenge man nimmt.

Welche abzählbaren Teilmengen von [0,1] würden dir denn so überhaupt einfallen?

01.06.2011, 01:42

Pascal95

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die rationalen zahlen in [0â€š1] oder einfach {1}

oder was anderes?

01.06.2011, 01:50

Quadratzahl-Jan

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Bevor ich alles verrate, vorerst ein letzter tip: abzählbar unendlich soll sie sein. (Endliche Mengen nützen hier nichts)
Und ich meine nicht die rationalen Zahlen in [0,1].
Falls es dir nicht ins Auge springen will, kann ich dir eine Bijektion morgen mal aufschreiben.
Wahrscheinlich ist ein wenig Erfahrung im Umgang mit unendlichen Mengen nicht verkehrt.
Überleg einfach noch ein bisschen, sowas muss man sicher nicht nach 2 Sekunden erkannt haben.

01.06.2011, 22:55

Pascal95

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Dann möchte ich mich wieder dem Cantor-Bernstein-Schröder-Theorem zuwenden.

Ich gehe davon aus, dass sich sowohl die Mengen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ als auch die injektiven Funktionen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ im Abschnitt "Beweisidee" auf die aus dem Abschnitt "Satz" beziehen.

Nun steht unter Beweisidee:

Zitat:

Wir definieren die Mengen:

$\begin{eqnarray*} C_0 := A\setminus g(B) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} C_{n+1} := g(f(C_n))\quad \mbox{ für } n\ge 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} C := \bigcup_{n=0}^\infty C_n \end{eqnarray*}$

Wenn ich das soweit richtig verstanden habe, beschreibt dann $\begin{eqnarray*} C_0 \end{eqnarray*}$ die Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ohne die Funktionswerte, die von der Funktion g aus der Menge B angenommen werden.

Aber dann müsste doch gelten: $\begin{eqnarray*} g(B)=A \end{eqnarray*}$ , weil die Funktion $\begin{eqnarray*} g: B \to A \end{eqnarray*}$ injektiv ist, oder irre mich da?

Oder gilt das nur, wenn $\begin{eqnarray*} |A|\leq |B| \end{eqnarray*}$ ?

Denn durch die Existenz einer Injektion $\begin{eqnarray*} g: B \to A \end{eqnarray*}$ ist ja gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} |A|\geq |B| \end{eqnarray*}$ , denn es werden keine Werte aus A mehrfach angenommen, sie müssen auch gar nicht alle angenommen werden...

So, wie sieht es nun aus?

02.06.2011, 16:43

Abakus

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Zitat:

Original von Pascal95
Aber dann müsste doch gelten: $\begin{eqnarray*} g(B)=A \end{eqnarray*}$ , weil die Funktion $\begin{eqnarray*} g: B \to A \end{eqnarray*}$ injektiv ist, oder irre mich da?

Oder gilt das nur, wenn $\begin{eqnarray*} |A|\leq |B| \end{eqnarray*}$ ?

Das hättest du, wenn das g surjektiv ist. $\begin{eqnarray*} g~ :~ [0, 1] \to \mathbb R,~g(x) = x \end{eqnarray*}$ ist zB schon injektiv.

@ Quadratzahl-Jan: gute Idee, so funktioniert es natürlich viel einfacher Augenzwinkern

Augenzwinkern

. Wenn plötzlich überabzählbar viele Zahlen fehlen, findet das Verfahren dann seine Grenze.

Abakus smile

smile

03.06.2011, 13:25

Pascal95

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Hallo,

ich habe hier
eine Erläuterung zum Beweis gefunden (leider englisch).

Es geht also darum, dass man $\begin{eqnarray*} f:\ A\to B \end{eqnarray*}$ neu definieren möchte (?), um es surjektiv zu machen, dann hätte man es bijektiv (weil $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ schon injektiv ist).

Frage: Meint man mit "neu definieren", dass man eine neue Funktion definiert, $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ offensichtlich in diesem Falle, die dann eine Fallunterscheidung nutzt und dann in manchen Fällen (wenn $\begin{eqnarray*} x\in C \end{eqnarray*}$ ) den Funktionswert $\begin{eqnarray*} h(x)=f(x) \end{eqnarray*}$ annimmt (?)

Vielen Dank.

03.06.2011, 20:26

Abakus

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Zitat:

Original von Pascal95
Frage: Meint man mit "neu definieren", dass man eine neue Funktion definiert, $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ offensichtlich in diesem Falle, die dann eine Fallunterscheidung nutzt und dann in manchen Fällen (wenn $\begin{eqnarray*} x\in C \end{eqnarray*}$ ) den Funktionswert $\begin{eqnarray*} h(x)=f(x) \end{eqnarray*}$ annimmt (?)

Letztendlich ist eine Bijektion zu definieren, das ist hier h. Dazu können wir nur f und g benutzen, andere Voraussetzungen haben wir ja nicht.

Das h und f stimmen auf einer bestimmten Menge überein, ja. Daher darf wohl gesagt werden, dass das f geeignet modifiziert wird.

Abakus smile

smile

03.06.2011, 20:30

Pascal95

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Ok, danke sehr.

Aber wie ist das gemeint?
"At first, redefine it on the image of g for it to be the inverse function of g"
Es soll also auf dem Bild von g neu definiert werden, das ist eine Teilmenge von A, aber wird es dann die Umkehrfunktion von g?

03.06.2011, 20:41

Abakus

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Zitat:

Original von Pascal95
Aber wie ist das gemeint?
"At first, redefine it on the image of g for it to be the inverse function of g"
Es soll also auf dem Bild von g neu definiert werden, das ist eine Teilmenge von A, aber wird es dann die Umkehrfunktion von g?

Ja, aber eben nur auf dem Bild von g. Das ist aber nur die erste Iteration... es geht ja weiter.

Abakus smile

smile

03.06.2011, 20:49

Pascal95

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Und das Bild von g ist ja eine Teilmenge von A.

Aber es ist mir noch nicht so ganz klar und ich weiß nicht ob es am Englisch oder an der Mathematik dahinter liegt.

Und ich weiß auch nicht, wie das die Injektivität (von h?) "zerstören" soll?

"However, this might destroy injectivity, so correct this problem iteratively, by making the amount of points redefined smaller, up to a minimum possible, shifting the problem "to infinity" and therefore out of sight."
Das sind dann eben diese Iterationen...

03.06.2011, 21:02

Abakus

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Kannst du umgekehrt denn argumentieren, wieso die Injektivität unberührt bleiben soll? Immerhin wird ja einiges umdefiniert und geändert, wieso sollte sie also?

Letztendlich ist zu beweisen, dass das h bijektiv ist. Die Logik dazu solltest du vielleicht erst anschauen, dann ist die Konstruktion eher zu verstehen.

Also Definition von h erstmal so hinnehmen, dann zeigen, dass h die verlangten Eigenschaften hat. Wenn du dann noch wissen willst, wieso h so definiert wurde, empfehle ich einige Beispiele anzuschauen.

Abakus smile

smile

04.06.2011, 00:18

Pascal95

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Wie war denn die Idee von Quadratzahljan?

@Abakus: Bist du darüber auch informiert?

04.06.2011, 19:59

Abakus

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Zitat:

Original von Abakus
@ Quadratzahl-Jan: gute Idee, so funktioniert es natürlich viel einfacher Augenzwinkern

Augenzwinkern

. Wenn plötzlich überabzählbar viele Zahlen fehlen, findet das Verfahren dann seine Grenze.

Siehe weiter oben Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Abakus smile

smile

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