Geht die Gerade durch das Dreieck?

30.05.2011, 11:24

kurti132

Geht die Gerade durch das Dreieck?

Hallo liebe Leute,

ich hab vorhin eine Mathe Klausur geschrieben, in der eine Aufgabe vorkam, mit der ich mir nicht ganz sicher war.
Es waren 5 Punkte im Raum gegeben: A, B, C, P, Q.
A, B und C beschreiben ein Dreieck, P und Q eine Gerade. Leider weiß ich die Koordinaten der Punkte nicht mehr auswendig.
Die Frage ist nun, ob die Gerade durch das Dreieck verläuft oder daran vorbei.
Als erstes habe ich eine Geradengleichung aufgestellt, dann eine Ebenengleichung aus A, B und C, um den Schnittpunkt S der Gerade mit der Ebene, in der das Dreieck liegt, zu berechnen. Das ist mir auch gelungen.
Die Frage ist jetzt aber, wie ich anhand der Koordinaten der Eckpunkte und des Schnittpunktes erkenne, ob dieser IN oder AUSSERHALB des Dreiecks liegt?

Wäre super, wenn ihr mir das erklären könntet!

Als Beispielpunkte können wir ja mal von folgenden ausgehen:
$\begin{eqnarray*} A(2|0|1) ~ B(6|-2|3) ~ C(8|0|5) ~~~ S(7|-1|4) \end{eqnarray*}$

Liebe Grüße und vielen Dank! Wink

30.05.2011, 11:51

riwe

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RE: Geht die Gerade durch das Dreieck?
meine vorstellung:

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OA}+\lambda\cdot\overrightarrow{AB}+\mu\cdot\overrightarrow{AC} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} 0\leq\lambda,\mu\leq1\wedge 0\leq \lambda+\mu\leq 1 \end{eqnarray*}$

im konkreten fall: ja
S ist mittelpunkt der seite BC

23.01.2014, 17:52

bass05081986

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RE: Geht die Gerade durch das Dreieck?
Wie kommt man auf diese Bedingungen?

$\begin{eqnarray*} 0\leq\lambda,\mu\leq1\wedge 0\leq \lambda+\mu\leq 1 \end{eqnarray*}$

23.01.2014, 17:59

riwe

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RE: Geht die Gerade durch das Dreieck?
die 1. Bedingung beschreibt ein Parallelogramm, das von den beiden "Seiten"-Vektoren aufgespannt wird und am Punkt A festgezurrt ist.
die 2. läßt sozusagen nur die "linke" Hälfte desselben zu.
Bilderl machen hilft Augenzwinkern

23.01.2014, 20:10

Dopap

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RE: Geht die Gerade durch das Dreieck?
du musst zur Klärung dieser Frage nicht unbedingt vorher den Punkt S berechnen.

Du kannst gleich die gerade $\begin{eqnarray*} \vec x=\vec p +\nu \vec u \end{eqnarray*}$ mit der Parameterebene des Dreicks schneiden.

also:

$\begin{eqnarray*} \vec p +\nu \vec u =\overrightarrow{OA}+\lambda\cdot\overrightarrow{AB}+\mu\cdot\overrightarrow{AC} \end{eqnarray*}$

Das lineare Gleichungssystem muss

1.) lösbar sein

2.) $\begin{eqnarray*} 0\leq\lambda,\mu\leq1\wedge 0\leq \lambda+\mu\leq 1 \end{eqnarray*}$ muss erfüllt sein.

23.01.2014, 20:30

bass05081986

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Mein Problem liegt bei der Lösung des Gleichungssystems.
da man für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ je nach dem welche Gleichung man in eine andere einsetzt andere Werte bekommt. Da man ja 3 Gleichungen und 2 Unbekannte hat. Kann mir da jemand helfen?

23.01.2014, 20:37

Dopap

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in einem LGS mit den Variablen ( Unbekannten ) $\begin{eqnarray*} \nu , \mu , \lambda \end{eqnarray*}$ setzt man keine Werte ein.
Aus 3 Gleichungen kann man die Variablen berechnen

Das ist aber ein eigenes Thema.

23.01.2014, 21:01

riwe

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RE: Geht die Gerade durch das Dreieck?

Zitat:

Original von Dopap

$\begin{eqnarray*} 0\leq\lambda,\mu\leq1\wedge 0\leq \lambda+\mu\leq 1 \end{eqnarray*}$ muss erfüllt sein.

das war doch die eigentliche frage unglücklich

23.01.2014, 21:17

bass05081986

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Kann mir trotzdem jemand "sagen" oder "zeigen" wie man $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ berechnet?

23.01.2014, 21:22

riwe

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Zitat:

Original von bass05081986
Kann mir trotzdem jemand "sagen" oder "zeigen" wie man $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ berechnet?

hier steht´s Augenzwinkern

23.01.2014, 21:31

bass05081986

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ja nur leider verstehe ich es nicht verwirrt