poissonverteilt (Eier, Larven)

30.05.2011, 16:30	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
poissonverteilt (Eier, Larven) Meine Frage: Die Anzahl der Eier, die ein Insekt legt, sei poissonverteilt zum Parameter $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ . Aus jedem der sich unabhängig voneinander entwicklenden Eier schlüpft mit Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ eine Larve. Berechne die Verteilung der Anzahl der Larven. Meine Ideen: Sei E die Anzahl der Eier. Sei L die Anzahl der Larven und sei $\begin{eqnarray} \forall n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} L(n) \end{eqnarray}$ die Anzahl der Larven bei n Eiern. Damit genau k Larven schlüpfen, müssen mindestens k Eier gelegt worden sein. Die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} P(L=k) \end{eqnarray}$ entspricht also der Summe: (1) $\begin{eqnarray} P(L=k)=\sum_{n=k}^{\infty} P(E=n)\cdot P(L(n)=k) \end{eqnarray}$ . Nun ist E poissonverteilt, d.h. (2) $\begin{eqnarray} P(E=n)=\frac{\lambda^n}{n!}e^{-\lambda} \end{eqnarray}$ Zudem ist $\begin{eqnarray} L(n) \end{eqnarray}$ binomialverteilt: (3) $\begin{eqnarray} P(L(n)=k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k} \end{eqnarray}$ Setze (2) und (3) in (1) ein: (4) $\begin{eqnarray} P(L=k)=\sum_{n=k}^{\infty} \frac{\lambda^n}{n!} e^{-\lambda}\cdot \frac{n!}{(k!(n-k)!)}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k} \end{eqnarray}$ Kürzen und Umformen liefert: (5) $\begin{eqnarray} P(L=k)=\frac{e^{-\lambda}}{k!}p^k\sum_{n=k}^{\infty}\frac{\lambda^n}{(n-k)!} (1-p)^{n-k} \end{eqnarray}$ Indextransformation: $\begin{eqnarray} i:=n-k \end{eqnarray}$ (6) $\begin{eqnarray} P(L=k)=\frac{e^{-\lambda}}{k!}p^k\lambda^k\sum_{i=0}^{\infty}\frac{\lambda^i}{i!}(1-p)^i \end{eqnarray}$ Die Summe kann man durch die e-Funktion ausdrücken: (7) $\begin{eqnarray} \sum_{i=0}^{\infty}\frac{\lambda^i}{i!}(1-p)^i=e^{\lambda(1-p)} \end{eqnarray}$ Jetzt wieder einsetzen (nämlich (7) in (6)): (8) $\begin{eqnarray} P(L=k)=\frac{e^{-\lambda}}{k!}p^k\lambda^k\cdot e^{\lambda(1-p)}=\frac{(p\lambda)^k}{k!}\cdot e^{-p\lambda} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ ist also auch poissonverteilt. Ich hoffe mal, das ist alles korrekt. Über eine Antwort freue ich mich. Danke fürs Lesen!
31.05.2011, 10:36	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht gut aus. Allerdings gehst Du davon aus , dass E und L(n) unabhängig sind. Ich denke dass ist durchaus sinnvoll, aber davon steht natürlich (wie üblich) nichts in der Aufgabenstellung. Daher : Sofern Schritt (1) korrekt ist, ist es der Rest auch .
31.05.2011, 17:28	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, ich dachte die Unabhängigkeit steht in der Aufgabenstellung: "[...] der sich unabhängig voneinander entwickelnden Eier[...]". Aber das meint vermutlich etwas Anderes. Da das aktuelle Thema bei uns aber gerade "Unabhängigkeit" ist, bleibe ich trotzdem einfach mal bei meiner Lösung.
04.06.2011, 17:44	Schlumpf90	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, eine Frage hätte ich noch: Warum ist L(n) binomialverteilt? Das steht ja gar nicht in der Aufgabe. Würde mich freuen, wenn jemand diese Frage noch beantworten könnte Viele Grüße
04.06.2011, 18:02	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist binomialverteilt, weil nur zwei mögliche Ergebnisse eintreten können: "Schlüpfen" oder "nicht Schlüpfen". Und da L(n) ausdrückt, wie viele Larven aus n Eiern schlüpfen, bietet sich hier die Binomialverteilung an: Der Binomialkoeffizient gibt an, wie viele Möglichkeiten man hat, aus n Eiern die Anzahl der Larven, die schlüpfen, auszuwählen (ohne Zurücklegen und nicht unter Beachtung der Reihenfolge). So in etwa war meine Überlegung.
04.06.2011, 18:13	Schlumpf90	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach darauf hätte ich auch selbst kommen können, aber trotzdem danke.
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04.06.2011, 21:36	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr gerne!

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