Kern Ungleichung

30.05.2011, 17:26

ChronoTrigger

Kern Ungleichung

Hallo,

ich habe Probleme bei folgender Aufgabe:

Zitat:

Sei K ein Körper, $\begin{eqnarray*} m,n,p \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \in K^{p \times n} \end{eqnarray*}$ .

Zeige, dass $\begin{eqnarray*} dim(Kern(BA)) \leq dim(Kern(A))+dim(Kern(B)) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} A \in K^{n \times m} \end{eqnarray*}$ gilt.

Meine Idee ist nun, dass ich zeige, dass $\begin{eqnarray*} Kern(BA) \subseteq Kern(A)+Kern(B) \end{eqnarray*}$ gilt, woraus dann die obige Dimensionsungleichung folgt.

Die induzierten linearen Abbildungen sind

$\begin{eqnarray*} \phi_A: K^m \to K^n, v \to Av \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} \phi_B: K^n \to K^p, w \to Bw \end{eqnarray*}$

Sei also $\begin{eqnarray*} v \in Kern(\phi_B \circ \phi_A) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \implies \phi_B(\phi_A(v))=0 \end{eqnarray*}$

Um die Teilmengenbeziehung zu zeigen, müsste ich ja nun zeigen, dass $\begin{eqnarray*} v=u_1+u_2 \end{eqnarray*}$ gilt, wobei $\begin{eqnarray*} u_1 \in Kern(\phi_A) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_2 \in Kern(\phi_B) \end{eqnarray*}$ .

Allerdings ist mir nicht klar, wie ich das nun folgern könnte.

Kann mir jemand einen Tipp geben?

danke schonmal im voraus.

30.05.2011, 17:40

zweiundvierzig

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RE: Kern Ungleichung

Zitat:

Original von ChronoTrigger
Meine Idee ist nun, dass ich zeige, dass $\begin{eqnarray*} Kern(BA) \subseteq Kern(A)+Kern(B) \end{eqnarray*}$ gilt [...]

Die Menge auf der rechten Seite ist kein Vektorraum der richtigen Dimension.

Kennst Du die sogenannte Rangungleichung von Sylvester?

30.05.2011, 18:18

ChronoTrigger

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danke für den tipp.

ja, die Sylvester-Ungleichung kenne ich. Ich glaube, ich habe es mit ihr hinbekommen:

$\begin{eqnarray*} Rang(BA) \geq Rang(A)+Rang(B)-n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow dim(Kern(BA))+Rang(BA) \geq Rang(A)+Rang(B)-n+dim(Kern(BA)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow m \geq m-dim(Kern(A))+n-dim(Kern(B))-n+dim(Kern(BA)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow 0 \geq -dim(Kern(A))-dim(Kern(B))+dim(Kern(BA)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow -dim(Kern(BA)) \geq -dim(Kern(A))-dim(Kern(B)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow dim(Kern(BA)) \leq dim(Kern(A))+dim(Kern(B)) \end{eqnarray*}$

wäre das so in Ordnung?

30.05.2011, 18:37

zweiundvierzig

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Du kannst direkt mittels des Rangsatzes $\begin{eqnarray*} \mathrm{rk}(A) = m - \mathrm{dim}(\ker(A)) \end{eqnarray*}$ usw. einsetzen, dann sparst Du einige Rechenschritte. Deine Rechnung ist aber auch so richtig. smile

30.05.2011, 18:40

ChronoTrigger

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alles klar, dann danke ich dir für die hilfe smile

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