Vektoren

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31.05.2011, 19:44	big_rave	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektoren Meine Frage: Hallo, ich habe ein Problem mit einer Vektoraufgabe. Gegeben: sind die Vektoren a=(1,4,-2) b=(-2,3,-1) Gesucht: alle Vektroen die senkrecht zu a und b sind und die Länge 1 besitzen Meine Ideen: ac=0 => x+4y-2z=0 bc=0 => -2x+3y-z=0 die Länge des Vektors c =1 => X^2+y^2+z^2=1 Leider komme ich hier nicht weiter...kann mir eine sagen ob mein Ansatz stimmt und wie ich nun den Vektor c berechnen kann? Vielen Dank und Grüße big_rave
31.05.2011, 19:51	BarneyG.	Auf diesen Beitrag antworten »
Bis hierhin ist doch alles richtig. x+4y-2z=0 -2x+3y-z=0 Dieses Gleichungssytem hat ZWEI Gleichungen und DREI Unbekannte. Man kann jede Gleichung als eine Ebene auffassen. Und diese Ebenen muss man schneiden. Die Lösung ist also i.a. eine Gerade (wenn die Ebenen nicht parallel sind). Oder anders ausgedrückt, wir haben einen Freiheitsgrad. Du kannst also etwa x und y durch z ausdrücken. Und dann beachtest du noch die Bedingung, dass die Länge dieses Vektors (x(z) / y(z) / z) = 1 sein soll ...
31.05.2011, 19:56	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektoren das kannst du so machen ich erhalte so $\begin{eqnarray} z=\pm \frac{11\sqrt{6}}{30} \end{eqnarray}$ was sogar stimmen könnte wenn du das kreuzprodukt kennst, gehts einfacher
31.05.2011, 20:15	big_rave	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Barney, leider weiß ich nicht einmal was ein Freiheitsgrad ist :-( @ riwe wie kommst du auf das Ergebnis? Das Kreuzprodukt wurde bei uns in der Vorlesung ausgeklammert..... Bin also leider immernoch total ratlos :-(
31.05.2011, 20:21	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
drücke x und y durch z aus mit hilfe der beiden linearen gleichungen. dann setze in die norm ein
31.05.2011, 20:26	BarneyG.	Auf diesen Beitrag antworten »
"riwe" hat natürlich vollkommen recht, dass man die Aufgabe mit dem Kreuzprodukt mit "links" lösen kann. Aber das kennt ihr ja nicht ... Also, bleiben wir bei dem Gleichungssystem: x+4y-2z=0 -2x+3y-z=0 Wir haben ZWEI Gleichungen, mit DREI Unbekannten. Das heißt es gibt i.a. keine EINDEUTIGE Lösung. Sondern wir können etwa x und y durch z ausdrücken ... Wir nehmen etwa die erste Gleichung mit -2 mal. -2x-8y+4z=0 -2x+3y-z = 0 Und jetzt subrahieren wir die beiden Gleichungen voneinander ... -11y+3z=0 oder y = 3/11 * z Wir haben also y durch z ausgedrückt. Genauso kann man x durch z ausdrücken ... Jetzt kennst du die allgemeine Lösung in Abhängigkeit von z. Das nennt man einen Freiheitsgrad. Aber sag mal ... das ist Stoff der Oberstufe ... hast du das nicht gehabt?
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31.05.2011, 20:30	big_rave	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, ich steh echt aufm schlauch! Muss ich dann die beiden Gleichungen einfach nach z auflösen? aber dann hab ich ja immernoch alle unbekannten drin?
31.05.2011, 20:37	BarneyG.	Auf diesen Beitrag antworten »
Au Mann ... du sollst x durch z ausdrücken ... also etwa x+4y-2z=0 -2x+3y-z=0 Erste Gleichung mal 3 und zweite Gleichung mal 4 3x+12y-6z=0 -8x+12y-4z=0 Die beiden Gleichungen voneinander abziehen 11x-2z=0 also x = 2/11 * z Die allgemeine Lösung lautet also Lösungsvektor = (2/11 * z \| 3/11 * z \| z) Und jetzt musst du das z so wählen, dass die Länge des Lösungsvektors = 1 ist. Aber das machst du jetzt selber. Ich verrate nur soviel, dass es zwei mögliche Werte für z gibt ....
31.05.2011, 21:18	big_rave	Auf diesen Beitrag antworten »
sorry hatte auf den Beitrag von Riwe geantwortet. In der Zeit musst du mir einen weiteren geschrieben haben. Da ich nach meinem Abi erstmal eine Ausbildung gemacht habe, liegt dies etwas länger bei mir zurück. Das für z dann zwei werte rauskommen, habe sogar ich hinbekommen. Bei mir kommt + 0,95 und - 0,95. Aber ich befürhcte dass dies nicht stimmt. Wenn ich den Vektor dann ausrechne ist er leider länger als 1(?)
31.05.2011, 21:20	big_rave	Auf diesen Beitrag antworten »
ah ok....ich hab glaub meinen fehler entdeckt.ich muss dass z in die beiden Gleichungen in abhängigkeit von z einsetzten. also x = ..... und y= ..... dann sind dies meine 2 fehlenden werte....z hab ich ja dann. Stimmt das dann?

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