Endliche Gruppen und Normalteiler

01.06.2011, 16:30	Takirion	Auf diesen Beitrag antworten »
Endliche Gruppen und Normalteiler Edit (mY+): Keine Hilfeersuchen im Titel! Meine Frage: Hallo, ich hab mal wieder ein Problem mit endlichen Gruppen. Also es sei G eine endliche Gruppe, n:=\|G\| und U eine Untergruppe von G mit m:=\|U\| Zeige: a)aus 2m=n folgt, U ist ein Normalteiler von G b)ist U die einzige Untergruppe mit m Elementen, so ist U ein Normalteiler von G Meine Ideen: Mein Problem ist, dass ich nichteinmal einen Denkansatz habe. Ich hab bei a) schon überlegt, ob man das per Induktion und bei b) mit Hilfe des Satzes von Larrange machen könnte, bin damit aber irgendwie kein bischen weiter gekommen. Insofern wäre mir ich über einen Denkansatz sogar noch lieber als ein Kompletter Beweis. Danke schonmal Lg Takiron
01.06.2011, 17:42	sbh	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hilfe zu endlichen Gruppen und Normalteilern Also bezüglich a) kann ich glaub ich helfen, ich arbeite an der gleichen Aufgabe Betrachte mal die Mächtigkeit von $\begin{eqnarray} G / U \end{eqnarray}$ und was seine Elemente sein können.
01.06.2011, 17:51	Takirion	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm \|G/U\|=2 (Satz von Larange) --> G/U={neutrales Element, nicht neutrales Element} ich kapier leider trotz dem nicht, wie mir das weiter helfen soll? Läuft das darauf hinaus zu zeigen, dass die Verknüpfung Restklasse(a)Restklasse(b)=Restklasse(ab) wohldefiniert ist? Ich hab nämlich irgendwie keine Ahnung wie ich das beweisen soll...
01.06.2011, 17:53	sbh	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gilt doch disjunke Vereinigung der Linksnebenklassen = G, und analog für die Rechtsnebenklassen. Außerdem: eU=Ue
01.06.2011, 19:50	zweiundvierzig	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Tipp von sbh zu (a) ist gut. Zu (b) überlege Dir, das für $\begin{eqnarray} g \in G \end{eqnarray}$ stets $\begin{eqnarray} gUg^{-1} \end{eqnarray}$ eine Untergruppe von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ ist. Was folgt daraus mit der Voraussetzung der Aufgabe?
01.06.2011, 20:34	Roonex	Auf diesen Beitrag antworten »
Da ich ja die gleiche Aufgabe lösen muss... Also $\begin{eqnarray} gUg^{-1} \end{eqnarray}$ hat doch die gleiche Anzahl Elemente wie $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ oder? Wenn man das direkt folgern könnte ist der Rest ja nicht mehr schwer... Also $\begin{eqnarray} \|gUg^{-1}\| = m = \|U\| \end{eqnarray}$ und da es nur eine Untergruppe mit $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ Elementen geben soll, wäre $\begin{eqnarray} gUg^{-1} = U \end{eqnarray}$ was äquivalent dazu ist das $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ ein Normalteiler ist.
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01.06.2011, 20:41	zweiundvierzig	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das stimmt.
01.06.2011, 20:46	Takirion	Auf diesen Beitrag antworten »
Jup und zu folgern, dass gUg-1 die gleiche Anzahl Elemente hat wie U ist nicht schwer zu zeigen, denn für g,g' $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ G folgt aus ghg-1=gh'g-1 mit den Kürzungsregeln sofort h=h'. Man müsste halt noch die Gruppenaxiome für gUg-1 nachrechnen, aber das ist ja wirklich nicht schwer. Wenn man mal die Idee hat... Und das für a) ist ja dann auch relativ klar ^^ Danke an sbh und mal wieder zweiundvierzig

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