Matrizen, ähnliche Matrizen, charakteristische Polynome

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02.06.2011, 11:41	El Rey	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrizen, ähnliche Matrizen, charakteristische Polynome Meine Frage: hallo liebes forum ich sitze hier an folgender aufgabe und mir fehlt einfach die zündene idee aufg: man hat eine matrix $\begin{eqnarray} A\in Mat_\mathbb R (n,n) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} A^2 = -E_n \end{eqnarray}$ a) zeige a) ist gerade b) sei nun $\begin{eqnarray} n = 2k \end{eqnarray}$ zeige nun $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ist ähnlich zu $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & -E_k \\ E_k & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ c) bestimme das char. polynom zu $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ d) bestimmen sie für die angegebene matrix eine tranformationasmatrix die sie auf die gestalt in b) bringt mit $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 & 0 \\ -2 & 3 & 5 & -2 \\ 6 & -8 & -11 & 4 \\ 11 & -13 & -19 & -7 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: zu a) ich hab immer versucht $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ auszurechnen aber man kann sie nich eindeutig bestimmen, mir is klar das n gerade sein muss aber wie kann man das zeigen ?? zu b) ich kenne die formel $\begin{eqnarray} B = SAS^{-1} \end{eqnarray}$ aber wie soll man auf S kommen oder gibts noch ne andere Möglichkeit ?? zu c) ich wollte das char. polynom von der matrix aus b) ausrechnen weil ähnliche matrizen haben ja das gleiche char. polynom aber da hat man dann eine voll besetzte blockmatrix da weis ich nich wie man die det ausrechnen soll zu d) mit welcher basis fängt man da an ?? und was is hier A und was B in der formel ?? kann mir da bitte wer schnell bei helfen ?????
02.06.2011, 11:46	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu a) Du willst hier zeigen, dass n gerade ist, oder? Dann denke mal an die Determinante.
02.06.2011, 11:49	El Rey	Auf diesen Beitrag antworten »
ja hab ich auch schon dran gedacht weil $\begin{eqnarray} det(-E_n) = 1 \end{eqnarray}$ weil sonst hätte man ja keine paare die je eine 1 erzeugen aber wie formuliert man das dann ??
02.06.2011, 12:46	El Rey	Auf diesen Beitrag antworten »
okay a) hab ich hingekriegt kann mir wer bei den anderen teilen helfen ??
02.06.2011, 12:54	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der b) musst du halt eine geeignete Basis B finden, sodass der von A induzierte Endomorphismus bzgl. der Basis B gerade die gewünsche Matrixdarstellung hat. Ist z.b. $\begin{eqnarray} b_1, \cdots, b_k, b_{k+1}, \cdots, b_n \end{eqnarray}$ solch eine Basis, so muss gelten: $\begin{eqnarray} Ab_1 = b_{k+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Ab_{k+1}=-b_1 \end{eqnarray}$ Und analog für 2, ..., k-1 Überlege dir nun wie du das anstellen könntest.
02.06.2011, 13:54	El Rey	Auf diesen Beitrag antworten »
is das nich dann einfach eine verdrehte standardbasis also quasi so eine permutation ??
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02.06.2011, 16:43	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das ist keine Standardbasis. Betrachten wir doch einfach mal die n Vektoren $\begin{eqnarray} b_1, \dotsc b_k, Ab_1, \dotsc Ab_k \end{eqnarray}$ . Nehme nun mal an diese Vektoren seien linear unabhängig, d.h. sie bilden eine Basis. Nun bestimme mal die Matrixdarstellung von A bzgl. dieser Basis.
02.06.2011, 23:53	El Rey	Auf diesen Beitrag antworten »
ja das is doch dann einfach $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} & & \\ Ab_1 & Ab_2 & ... & A^2b_k \\ & & \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ aber wie komme ich jez so auf die basis ??
03.06.2011, 07:43	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist noch nicht richtig. Du hast jetzt richtigerweise A auf die Basisvektoren losgelassen. Du musst die Bilder aber dann auch noch mit Hilfe der Basisvektoren darstellen. Wenn du nicht weißt, wie man eine Matrixdarstellung bzgl. eine bestimmten Basis bestimmt, dann hast du hier natürlich wenig Chancen.

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