2-, 5-, 7-adische Darstellung von 1/5

12.12.2006, 16:27	Harald Kurse	Auf diesen Beitrag antworten »
2-, 5-, 7-adische Darstellung von 1/5 Die Folgen $\begin{eqnarray} a_n, b_n, c_n \end{eqnarray}$ hab ich mit algorithmischem Ausprobieren rausgefunden, jetzt muss ich noch beweisen, dass sie zum gewünschten Resultat führen. Bloss, wie mach ich das? $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty~a_n2^{-n}=\sum_{n=1}^\infty~b_n5^{-n}=\sum_{n=1}^\infty~c_n7^{-n}=\frac{1}{5} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (a_n)_{n \in \mathbb N} = (0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1,...) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (b_n)_{n \in \mathbb N} = (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,...) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (c_n)_{n \in \mathbb N} = (1, 2, 5, 4, 1, 2, 5, 4,...) \end{eqnarray}$ Vielen Dank für eure Hilfe!! Harald
12.12.2006, 16:58	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Zahl $\begin{eqnarray} [0,\overline{a_{m-1}a_{m-2}\ldots a_1a_0}]_d \end{eqnarray}$ im $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ -adischen Zahlensystem hat den Wert $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{m-1} a_kd^k \cdot \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{d^{nm}} = \frac{\sum\limits_{k=0}^{m-1} a_kd^k}{d^{m}-1} \end{eqnarray}$ , folgt aus geometrischer Reihe. Überprüfen wir das mal bei dir: d=2 mit m=4 : $\begin{eqnarray} \frac{[0011]_2}{2^4-1} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} \end{eqnarray}$ d=5 ist sowieso klar, als endlicher Dezimal-, halt nein: eher Pentinal(?!)-Bruch. d=7 mit m=4 : $\begin{eqnarray} \frac{[1254]_7}{7^4-1} = \frac{1\cdot 7^3+2\cdot 7^2+5\cdot 7+4}{2400} = \frac{480}{2400} = \frac{1}{5} \end{eqnarray}$ Also alles Ok.
12.12.2006, 17:33	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst natürlich auch den aus dem Dezimalsystem bekannten Divisionsalgorithmus verwenden, um die Darstellung zu finden. Du mußt nur konsequent im entsprechenden System denken. Die Rechnung etwa im 7er-System siehe Anhang.
13.12.2006, 13:10	Harald Kurse	Auf diesen Beitrag antworten »
Keine Frage Jetzt wollt ich ne Frage stellen, aber beim Eingeben in Latex ises plötzlich aufgegangen. Vielen Dank euch beiden für eure Hilfe, und weil ichs schon reingetöggelt habe publizier ichs jetzt auch. $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{d^{nm}} = \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{1}{d^{m}})^n-1=\frac{1}{1-\frac{1}{d^m}}-1=\frac{1}{\frac{d^m-1}{d^m}}-1=\frac{d^m}{d^m-1}-1=\frac{d^m-d^m+1}{d^m-1}=\frac{1}{d^m-1} \end{eqnarray}$ Gruss, Harald
13.12.2006, 15:21	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Keine Frage Ich verschieb den Thread mal dorthin, wo die anderen zu p-adischen Zahlendarstellung auch sind. *verschoben*

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