Veränderung Parameter b

02.06.2011, 17:53

wollmaus

quadratische Funktionen / Parabeln / Veränderung Parameter b

Meine Frage:
Ich habe eine theoretische Frage:

Ich habe also die allgemeine Funktionsgleichung
$\begin{eqnarray*} y= f\left(x\right)= ax^{2}+ bx+ c \end{eqnarray*}$

Wie verändert sich die Lage der Parabel, wenn ich den Parameter b verändere - also gibt es einen theoretischen Ansatz dazu?

Bei Parameter a kann ich sagen:
a>0 = Öffnung nach oben,
a<0 = Öffnung nach unten,
a>1 = gestreckter Graph,
a<1 = gestauchter Graph

und bei Parameter c kann ich sagen:
c>0 = y-Durchgang oberhalb der Abszisse
c<0 = y-Durchgang unterhalb der Abszisse
c=0 = y-Durchgang im Nullpunkt ...

Meine Ideen:
Bei dem Parameter b fällt mir eine Definition über
b=0 = Scheitelpunkt auf Ordinate
hinaus aber irgendwie schwer.

Kann mir bitte jemand helfen?
Danke schon mal.

02.06.2011, 18:23

Equester

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Während es zu a und c klare Aussagen gibt, die auch relativ einfach zu erkennen sind,
ist das beim Parameter b nicht ganz so einfach. Aber schau mal hier:

http://de.wikipedia.org/wiki/Quadratisch...ion#Parameter_b

Wink

02.06.2011, 18:29

wollmaus

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Da habe ich schon nachgeschaut, aber wirklich schlau bin ich nicht daraus gewortden ... unglücklich

Alles was ich daraus ableiten konnte war:
b>0 = Verschiebung des Graphen nach links unten
b<0 = Verschiebung des Graphen nach rechts oben.

Das klingt zumindest nach einem Ansatz, aber ich hoffte, es gibt "echte" Regeln dafür. verwirrt

Denn wie sieht es aus, wenn der Graph links oben ist oder rechts unten???

02.06.2011, 18:35

Equester

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Mehr als das auf wiki wirst du wahrscheinlich nicht finden. Dafür übt eine Änderung von
b eine zu große Veränderung auf den ganzen Graphen aus.

Wenn Du ein Gefühl dafür kriegen willst, dann nimm einfach einen (oder den hier) Plotter
und zeichne ein paar Funktionen, wobei Du nur b änderst Augenzwinkern

02.06.2011, 18:43

wollmaus

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Der hier vorhandene streikt bei meinen Versuchen - darauf war ich nämlich auch schon gekommen ... Augenzwinkern

Kannst Du mir einen anderen empfehlen?

02.06.2011, 18:55

wollmaus

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RE: quadratische Funktionen / Parabeln / Veränderung Parameter b
Hab es doch noch hinbekommen. smile

Allein das wirft meine Theorie schon einmal komplett über den Haufen ... traurig

Keine Logik dahinter??? Das gibt es doch in der Mathematik gar nicht! Oder doch?

02.06.2011, 20:17

Equester

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Schau mal, ob Du die Angaben von wiki wiederfindest Augenzwinkern

Dabei nimm aber erst mal b=0 b=1 und b=2.
(Von mir aus auch den negativen Teil).

Ich schau dann heut Abend oder gar morgen drüber. Bin weg smile

02.06.2011, 20:51

wollmaus

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ok - erst mal die graphische Darstellung

02.06.2011, 20:57

wollmaus

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Wiki sagt ...

"Wird b um eins erhöht, dann wird der Graph um 1 / 2a Einheiten nach links und (2b + 1) / 4a nach unten verschoben. Wird b um eins verringert, wird der Graph dagegen um 1 / 2a Einheiten nach rechts und (2b - 1) / 4a nach oben verschoben."

Man kann es in der Grafik zwar nicht soooo gut erkennen, aber das kommt hin.

Machen wir das ganze auch noch mit der Verringerung von b am Beispiel -2 ...

Stimmt das irgendwie nicht ... unglücklich

02.06.2011, 22:03

Equester

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Also ich finde das passt Augenzwinkern

Beachte, dass Du diesmal von 2x²-x+1 ausgehst, wenn Du 2x²-2x+1 betrachten willst.
Denn b wird ja um eins verringert! Augenzwinkern

03.06.2011, 10:11

wollmaus

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Ok, aber bei wiki steht, dass sich der Graph nach rechts oben und nicht nach rechts unten verändert ... verwirrt

Wie ist das zu erklären? Oder habe ich ein Orientierungsproblem?

03.06.2011, 14:13

Equester

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Das passt. Beachte, dass Du b negativ gewählt hast. Dann ist das natürlich andersrum.
Nehmen wir aber an, dass wir von b=2 auf b=1 wollen, dann haben wir eine Verschiebung
nach rechts oben Augenzwinkern

04.06.2011, 16:02

wollmaus

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OK ...

dann könnte man sagen, dass eine
Verringerung von b im positiven Bereich eine Verschiebung nach rechts oben;
Verringerung von b im negativen Bereich nach rechts unten;
Vergrößerung von b im positiven Bereich nach links unten;
Vergrößerung von b im negativen Bereich nach links oben bedeutet????

Oder kann/sollte/darf ich das nicht so verallgemeinern ...?

04.06.2011, 18:32

Equester

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Nicht mal so darfste es verallgemeinern. Was ist wenn a negativ ist? Augenzwinkern

Dann sieht das so aus.
Das ist auch der Grund dafür, dass es für a und c (klare) Aussagen gibt, für b aber nicht.
Da gibt es zu viele wenn und abers Augenzwinkern

04.06.2011, 18:37

wollmaus

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Na gut, auch wenn das meinem Drang alles verstehen zu müssen nicht so wirklich entspricht ... traurig

KEINE Regeln für den Parameter b!!!

Ich danke Dir ganz arg ... Mit Zunge

04.06.2011, 18:41

Equester

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Das ist halt Mathematik! Deswegen bin ich Physiker Teufel

Gerne

04.06.2011, 18:44

wollmaus

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Als ob da immer alles logisch wäre ... Big Laugh

16.01.2017, 21:05

D-men

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Mathe
Es ist mega logisch... Mathe basiert auf Logik. Lehrer

Komisch,dass niemand weiss was b ist, wielche Funktion es hat usw und ich alles alleine herraus finden musste ohne Hilfe. Die Antworten verwirren einen eher als das sie einem helfen. Hammer

17.01.2017, 23:44

outSchool

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RE: Mathe

Zitat:

Original von D-men
. . . und ich alles alleine herraus finden musste ohne Hilfe.

Da hast du ja etwas für dich getan.

Zitat:

Original von D-men
Die Antworten verwirren einen eher als das sie einem helfen.

Und wo ist deine Lösung?

Für alle, die das Thema von 2011 noch interessiert:

Gegeben ist die quadratische Funktion $\begin{align*} f(x) = ax^2 + bx + c \end{align*}$ .

Der zugehörige Scheitelpunkt liegt in $\begin{align*} S \left( -\frac{b}{2a}\, \middle | \, c- \frac{b^2}{4} \right) \end{align*}$ .

Betrachtet man die quadratische Funktion mit $\begin{align*} a=1 \end{align*}$ und $\begin{align*} c=0 \end{align*}$ , so lässt sich die Ortskurve des Scheitelpunkts der quadratische Funktion $\begin{align*} f_b(x) = x^2 + bx \end{align*}$ wie folgt berechnen:

$\begin{align*} S_b \left( -\frac{b}{2}\, \middle | \, - \frac{b^2}{4} \right) \end{align*}$ , also $\begin{align*} x = -\frac{b}{2} \end{align*}$ und $\begin{align*} y = - \frac{b^2}{4} \end{align*}$ .

Daraus folgt $\begin{align*} b=-2x \end{align*}$ und $\begin{align*} y = - \frac{(-2x)^2}{4} = -x^2 \end{align*}$ .

$\begin{align*} s(x) = -x^2 \end{align*}$ (roter Graph) ist die Ortskurve des Scheitels der Funktion $\begin{align*} f_b(x) = x^2 + bx \end{align*}$ .
[attach]43679[/attach]

Ist nun c variabel, dann verschiebt sich die Orstkurve s(x) längs der y-Achse. Für variables a dehnt oder staucht sich die Ortskurve.

Für die quadratische Funktion $\begin{align*} f(x) = ax^2 + bx + c \end{align*}$ mit Scheitelpunkt $\begin{align*} S \left( -\frac{b}{2a}\, \middle | \, c- \frac{b^2}{4} \right) \end{align*}$ ist die Gleichung der Ortskurve des Scheitelpunktes $\begin{align*} y = -a^2x^2+c \end{align*}$ .

23.02.2017, 20:01

D-men

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RE: Mathe
Entschuldigung für die Rechtschreibfehler. Es sollte nicht unhöflich wirken, aber die Antworten der anderen waren wirklich eher verwirrend.
Ich hatte bereits eine Lösung zu diesem Problem verfasst, aber diese habe ich leider ausversehen gelöscht und ich hatte keine Lust nochmal eine genaue Erklärung zu schreiben, die einfach zu verstehen ist. Forum Kloppe

Ich kann nur sagen, dass der Scheitelpunkt von der Parabel mit einem veränderten b-Wert immer auf der am Scheitelpunkt gespiegelten Parabel liegt von der Gleichung, wo der b-Wert einfach weggelassen wird.
Es ist schwer zu erklären.
Parameter a und b geben zusammen an in welche Richtung die Parabel verschoben wird, nachdem Parameter b verändert wird.

a>0 = Parabel nach oben geöffnet;
-->positiver b-Wert = Parabel wandert (auf der gespiegelten Parabel ohne Parameter b)in den negativen Bereich der x-Achse.
-->negativer b-Wert = Parabel wandert (auf der gespiegelten Parabel ohne Parameter b)in den positiven Bereich der x-Achse.

a<0 = Parabel nach unten geöffnet;
-->positiver b-Wert = Parabel wandert (auf der gespiegelten Parabel ohne Parameter b)in den positiven Bereich der x-Achse.
-->negativer b-Wert = Parabel wandert (auf der gespiegelten Parabel ohne Parameter b) in den negativen Bereich der x-Achse.

ax^2

1/2x^2= 1LE x b wandert die Parabel nach rechts oder links (abhängig von Parameter a und b)
1x^2= 1/2LE x b wandert die Parabel nach rechts oder links (abhängig von Parameter a und b)
2x^2= 1/4LE x b wandert die Parabel nach rechts oder links (abhängig von Parameter a und b)
3x^2= 1/6LE x bwandert die Parabel nach rechts oder links (abhängig von Parameter a und b)
4x^2= 1/8LE x b wandert die Parabel nach rechts oder links (abhängig von Parameter a und b)

LE(Längeneinheit)

Also vom Scheitelpunkt der Parabel ohne B-Wert geht man die von Parameter a abhängige LE x b nach rechts oder links (wieder abhängig von a und b) und von da aus (nach oben oder unten) zur am Scheitelpunkt-der-Parabel-ohne-b-Wert-gespiegelte-Parbel. Der Schnittpunkt ist der neue Scheitelpunkt.

Die Parabel muss wieder mit dem gleichen Streckfaktor gezeichnent werden. Die Parabel müsste nun durch den Scheitelpunkt der Parabel ohne b-Wert gehen.

Entschuldigung, falls hier wieder Rechtschreibfehler sind. Ich habe versucht es kurz und einfach zu erklären.

Beispiel:
Gleichung: 2x^2+2x+3
ohne b-Wert: 2x^2+3
am Scheitelpunkt gespiegelt ohne b Wert: -2x^2+3

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