Zentraler grenzwertsatz, beweise diese Formel

02.06.2011, 18:45

tikvica

Zentraler grenzwertsatz, beweise diese Formel

Meine Frage:
also wir wissen, dass die folge der Xi zufallsvariablen Poissonverteilt ist mit dem Parameter $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ . zu zeigen ist diese gleichheit: wobei das letzte simbol die standardnormalverteilung darstellt

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sum\limits_{k=0}^{n\lambda + \sqrt{n\lambda }b } \frac{(n\lambda) ^{k} }{k!} e^{-n\lambda } = \Im (b) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ja also nach dem Zentralen grenzwertsatz, def. wir unsere ZV:

$\begin{eqnarray*} \frac{X - mu}{\frac{sigma}{\sqrt{n} } } , X = \sum\limits_{i=1}^n X_i \end{eqnarray*}$
also in diesem Fall ist unsere ZV:
$\begin{eqnarray*} Z_n = \frac{X - \lambda }{\frac{\lambda}{\sqrt{n} } } \end{eqnarray*}$

Durch verwendung des Zentr.grws.satzer erhält man folgendes:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (P(\frac{X - \lambda }{\frac{\lambda}{\sqrt{n} } } ) \leq b) = \Im (b) = \lim_{n \to \infty } (P(\frac{\sum\limits_{i=1}^n X_i - \lambda }{\frac{\lambda}{\sqrt{n} } } ) \leq b) = \Im (b) \end{eqnarray*}$

für die Summe von X poison.verteilten ZV wissen wir, dass sie auch Poisson verteilt sind. mit dem parameter nlambda, also:

$\begin{eqnarray*} P(X1+.....+Xn = m) = \sum\limits_{m} (P(X1 + ... Xn = m)) = \sum\limits_{m} e^{-n\lambda }\frac{(n\lambda )^k}{k!} \end{eqnarray*}$

aber von hier komm ich nicht mehr weiter..weil wenn ich das in die formel des ZGS einsetze sieht es fast so wie das was gezeigt werdenmuss aus, nur der zähler stört und wie soll ich die grenzen verschieben :???? ich hoffe jemand kann mir dabei helfen

02.06.2011, 19:54

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Tja, du hast oben im ZGWS wider besseren Wissens mit den "falschen" Parametern gearbeitet:

Wenn du von unabhängigen $\begin{eqnarray*} X_i\sim \textrm{Poisson}(\lambda) \end{eqnarray*}$ ausgehst, dann hat $\begin{eqnarray*} X=\sum_{i=1}^n X_i \end{eqnarray*}$ (wie du eigentlich ja richtig festgestellt hast) die Verteilung $\begin{eqnarray*} X\sim \textrm{Poisson}(n\lambda) \end{eqnarray*}$ mit dann allerdings $\begin{eqnarray*} \mu = n\lambda \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma^2=n\lambda \end{eqnarray*}$ . Diese Werte sind im ZGWS zu verwenden!!!

P.S.: Eine Anmerkung zur Behauptung an sich: Da scheint mir eine formale Inkorrektheit im oberen Summenindex vorzuliegen, denn das sollte ja eine garantiert ganze Zahl sein, was für $\begin{eqnarray*} n\lambda+\sqrt{n\lambda}b \end{eqnarray*}$ i.a. nicht der Fall ist. Besser ist es also, dort noch eine Gaußklammer zu verwenden, d.h. $\begin{eqnarray*} \left\lfloor n\lambda+\sqrt{n\lambda}b \right\rfloor \end{eqnarray*}$ o.ä.

02.06.2011, 20:19

tikvica

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das stimmt..ich hab die Klammern in der oberen Grenze vergessen..

ok aber wenn ich jetzt diese Parameter im ZGWS einsetzte..kommt dies raus:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } P(\frac{X-n\lambda }{\lambda } ) \leq b) \end{eqnarray*}$

jetzt für das X die def. von der poisson.vert. mit paramter nlambda

stimmt das soweit?? aber was mach ich dann..weil beim einsetzten der Poisson verteilung für X.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k} e^{-n\lambda }\frac{(n\lambda )^k}{k!} \end{eqnarray*}$ in die obere formel..hab ich keine grenzen in der summe und was soll ich dann mit den übrigen n machen??

02.06.2011, 20:23

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab keine Ahnung, was deine letzte Frage bedeuten soll.

02.06.2011, 20:36

tikvica

Auf diesen Beitrag antworten »

ich meine dass man weiter weiss, das X (bzw. die Summe der Xi) poisson verteilt ist mit parameter nlambda:
$\begin{eqnarray*} <br /> \lim_{n \to \infty } P(\frac{\sum\limits_{k=1}^n X_i vert. Poi(n\lambda) - n\lambda }{\sqrt{\lambda } } ) =<br /> \lim_{n \to \infty } P(\frac{\sum\limits_{m}P( X1 + ... Xn = m)- n\lambda }{\sqrt{\lambda } } )<br /> \end{eqnarray*}$

also:
$\begin{eqnarray*} <br /> \lim_{n \to \infty } P(\frac{ e^{-n\lambda } \frac{(n\lambda )^m}{m!} - n\lambda } {\sqrt{\lambda } } ) \end{eqnarray*}$

also meine frage..ob ich dass nun hier ffalsch verwende..und wenn nich wie soll ich jetzt weiter machen :S

02.06.2011, 20:46

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Das geht mir bei dir zu chaotisch zu, fassen wir doch nochmal zusammen: Für $\begin{eqnarray*} S_n = X_1+\ldots+X_n \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} S_n\sim \textrm{Poisson}(n\lambda) \end{eqnarray*}$ , und nach ZGWS gilt

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} P\left( \frac{S_n-E(S_n)}{\sqrt{\operatorname{var}(S_n)}} \leq b \right) = \Phi(b) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} E(S_n)=n\lambda \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \operatorname{var}(S_n) = n\lambda \end{eqnarray*}$ eingesetzt ergibt das

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} P\left( \frac{S_n-n\lambda}{\sqrt{n\lambda}} \leq b \right) = \lim\limits_{n\to\infty} P\left( S_n \leq n\lambda + \sqrt{n\lambda} b \right) = \Phi(b) \end{eqnarray*}$ .

Anschließend ist doch nur noch die <-Wahrscheinlichkeit innerhalb des Grenzwertes als Summe von Einzelwahrscheinlichkeiten der Poissonverteilung zu schreiben.

02.06.2011, 21:02

tikvica

Auf diesen Beitrag antworten »

aa soo siehts viel einfacher aus..aber um erlich gesagt weiss ich nicht genau was du meinst..

die einzelwarscheinlichkeiten der X sind doch:

$\begin{eqnarray*} e^{-\lambda } \frac{\lambda ^k}{k!} \end{eqnarray*}$

also wenn das n mal addiert wird kommt dann
$\begin{eqnarray*} e^{-n\lambda } \frac{(n\lambda) ^k}{k!} \end{eqnarray*}$ raus? und ich hab ein problem mit den setzen der indices in der summe :S

02.06.2011, 21:04

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von tikvica
die einzelwarscheinlichkeiten der X sind doch:

$\begin{eqnarray*} e^{-\lambda } \frac{\lambda ^k}{k!} \end{eqnarray*}$

Das wären die von $\begin{eqnarray*} \textrm{Poisson}(\lambda) \end{eqnarray*}$ . unglücklich

Konzentrier dich doch mal bitte, $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ hat die Verteilung $\begin{eqnarray*} \textrm{Poisson}(n\lambda) \end{eqnarray*}$ .

02.06.2011, 21:09

tikvica

Auf diesen Beitrag antworten »

ja ja..das ist mir klar..aber da du gesagt hsat die einzelwahrscheinlichkeiten addieren..dachte ich ich muss Sn wieder aufteilen..ja also die W.keit für Sn ist also

$\begin{eqnarray*} e^{-n\lambda } \frac{(n\lambda) ^k}{k!} \end{eqnarray*}$

und wo kommt dann die Summe her?
weil dann bleibt doch nur:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } P(e^{-n\lambda } \frac{(n\lambda) ^k}{k!} \leq n\lambda + b\sqrt{n\lambda } ) \end{eqnarray*}$

02.06.2011, 21:15

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Schreibweise

Zitat:

Original von tikvica
$\begin{eqnarray*} P(e^{-n\lambda } \frac{(n\lambda) ^k}{k!} \leq n\lambda + b\sqrt{n\lambda } ) \end{eqnarray*}$

ist einfach nur furchtbar schlimmer Unsinn, sowas will ich nicht wieder sehen. Du kannst doch nicht die Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ in der Formel durch ihre Ergebniswahrscheinlichkeit ersetzen. unglücklich

Bei "Anzahlzufallsgrößen" $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ (d.h. solche, die nur natürliche Zahlen als Werte annehmen können) ist doch einfach

$\begin{eqnarray*} P(X\leq m) = \sum_{k=0}^m P(X=k) \end{eqnarray*}$ .

Für beliebige positiv reelle $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ kommt man dann über $\begin{eqnarray*} P(X\leq t) = P(X\leq \lfloor t\rfloor) \end{eqnarray*}$ zu

$\begin{eqnarray*} P(X\leq t) = \sum_{k=0}^{\lfloor t\rfloor} P(X=k) \end{eqnarray*}$ .

Das, und nur das, ist doch noch der fehlende Schritt zur Behauptung.

02.06.2011, 21:23

tikvica

Auf diesen Beitrag antworten »

oo da hab ich n fatalen fehler gemacht..kombinatorik liegt mir nicht so..aber danke ich verstehe es jetzt!

Neue Frage »

Antworten »

Zentraler grenzwertsatz, beweise diese Formel

Verwandte Themen