Halbnormen

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steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
Halbnormen
Meine Frage:
Hallo Leute, folgendes:

Sei oder und ein Vektorraum über .

Eine Abbildung mit den Eigenschaften:

i)
ii)
iii)

heißt für alle und eine Halbnorm.

Zeigen Sie:

Die Menge ist ein Unterraum von V

Meine Ideen:
So erstmal zum Verständnis, die Abbildung bildet jeden Vektor aus V auf einen Skalar aus dem Körper ab.

In unserem Skript steht: ||x|| ist die Norm des Vektors, sie wird auch Länge genannt, ist dann ||x||^* die Halbnorm des Vektors? Wie nennt man diese? Halblänge :P

Für die Unterraumaufgabe muss ich jetzt die Unterraumaxiome beweisen!
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Halbnormen
Okay also hier mal der Unterraum Beweis:

ich geh mal davon aus, dass diese Definition der Norm gilt, auch wenn es sich hier um die Halbnorm handelt, ich muss eben aufpassen, dass etwas andere Eigenschafte für
gelten als für

1) N ist nicht leer, denn der Nullvektor liegt in N, denn dieser hat Norm bzw Halbnorm Null

2) Für muss auch gelten:

in ersten Beitrag ist ein Fehler da muss das Kleiner gleich zeichen umgedreht werden...

da muss auch sein, und dann ist

3) Für muss auch gelten:



Passt doch so oder?
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Halbnormen
Ich muss als nächstes zeigen, dass auf eine Norm definiert.

Hierzu würde ich doch die 3 Kriterien einer Norm nachweisen:

1) Positivität:

2) Homogenität:

3) Dreiecksungleichung:

zu1)

nur dann, wenn ist und da es seich bei um den Faktoraum auf N handelt ist dann wenn wieder gilt. Für gilt also und dann ist auch und die Positivität folgt.

zu2)

da die Homogenität für die Halbnorm galt, kann man es gut zeigen, dass sie auch für die Norm auf V/N gilt.

zu3)

da die Dreiecksungleichung für die Halbnorm galt, kann man es gut zeigen, dass sie auch für die Norm auf V/N gilt.

Stimmen meine Ideen?

Warum kann bei der Positivität, v nicht kleiner also Null sein, also v < 0, ich hab ja nur gezeigt, dass v ungleich Null ist. Geht wohl aus der Definition wegen der Wurzel hervor oder?

Danke
toneesnightmare Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
ich geh mal davon aus, dass diese Definition der Norm gilt, auch wenn es sich hier um die Halbnorm handelt,...

Ich mag mich täuschen, aber ich denke nicht, dass du einfach so von dieser Definition ausgehen kannst und sie auf anwenden darfst.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Aber es besteht doch zwischen der Norm und der Halbnorm eigentlich nur ein Unterschied,

Norm: 1) ||v|| > 0

Halbnorm 1) ||v||* &#8805; 0

Also ist ja die Halbnorm Im Grunde auch eine "Norm" (ausser diesem Unterschied), diese kann, muss aber nicht durch ein inneres Produkt definiert werden...

Wie soll ich mir sonst die ||v||*: V -> K beschreiben???

Danke
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Aber es besteht doch zwischen der Norm und der Halbnorm eigentlich nur ein Unterschied,

Norm: 1)

Halbnorm 1)

Also ist ja die Halbnorm Im Grunde auch eine "Norm" (ausser diesem Unterschied), diese kann, muss aber nicht durch ein inneres Produkt definiert werden...

Wie soll ich mir sonst die beschreiben???

Danke
 
 
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von steviehawk
Norm: 1)


Diese Bedingung ergibt zusammen mit der Homogenität einen Widerspuch.

Zitat:
Original von steviehawk


Nicht jede Norm wird von einem Skalarprodukt induziert. Umgekehrt definiert jedes Skalarprodukt auf die hier beschriebene Weise eine Norm. Das heißt du kannst weder eine Norm noch eine Halbnorm allgemein so darstellen.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Okay also in der Aufgabe steht auch noch drin, dass V ein halbnormierter Raum ist, V nun ein halbnormierter Raum ist, also V = (V,||.||*)

das heißt der Raum besitzt auf jeden Fall eine Halbnorm, aber wie finde ich jetzt heraus, durch was diese Norm induziert wurde?

Danke für deine Hilfe!!!
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Der Unterschied zwischen einer Norm und einer Halbnorm ist, dass bei einem normierten Raum nur der Nullvektor Länge 0 hat. Für eine Norm wäre die Aufgabe entsprechend auch langweilig.

Du brauchst für die Aufgabe keine Induziertheit durch ein Skalarprodukt o.ä., sondern sollst ganz abstrakt mit den Eigenschaften einer Halbnorm prüfen, dass die Unterraumseigenschaften erfüllt sind. Das hast Du ja im zweiten Posting auch schon richtig gemacht.

Bei der nächsten Aufgabe sollte es wohl eher in der Aufgabe und Deinen Rechnungen heißen. Als ersten Schritt musst Du übrigens Wohldefiniertheit prüfen, d.h. dass es sich hierbei tatsächlich um eine Abbildung handelt. Deine Begründung zu (1) ist okay. Bei (2) und (3) passiert nicht viel Magie, aber Du solltest das schon nochmal ordentlich aufschreiben.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

folgt die Wohldefiniertheit nicht daraus, dass es für jedes die Darstellung mit passenden wobei W ein Komplement zu N in V ist?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe nicht, wie das daraus folgen sollte. Für nimm an . Wie kannst Du nun auf , d.h. schließen?
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn gilt: , dann bilden doch v und w die selbe Äquivalenzklasse oder?

dann ist

dann ist aber auch

und dann ist schließlich

so?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von steviehawk
dann ist

dann ist aber auch

Das ist nicht klar, sondern muss erst gezeigt werden.

Schließe von auf . Das liefert Dir schlussendlich .
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Okay also ich nehme an, dass für

gilt

so und ich soll jetzt davon auf schließen,

um später von auf

Also ich weiß ja, dass wenn dann ist oder? Denn in [v] sind ja alle Vektoren zusammengefasst, die die gleiche Verschiebung beeinflussen, also ist und also sind sie gleich.

So sind v,w nun zusätzlich Elemente aus N, dann ist ja was aus der Definition von N folgt, dann ist aber auch .

was aber wenn nun v,w nur Elemente aus V sind, dann gilt jedenfalls: und

Wie komme ich denn auf die Gelichheit?? Keine Ahnung leider Hammer

Mein Problem ist, dass ich zwar weiß, dass eine Halbnorm ist, ich weiß aber nicht durch was sie induziert wurde, daher weiß ich nicht, wie ich umschreiben kann, so dass ich dann auf die Gleichheit von schließen könnte.

Muss ich das mit den Eigenschaften der Halbnorm zeigen?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Was folgt aus für ? Wie bringt uns das dann weiter?
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

wenn , dann ist oder?

ich weiß doch immer noch nicht was die Halbnorm überhaupt ist!!! Bzw. durch was sie induziert wurde, durch ein Skalarprodkt?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist völlig unerheblich, ob diese Halbnorm durch ein Skalarprodukt induziert wurde oder nicht. Ist dies der Fall, dann handelt es sich sogar um eine Norm; ein Spezialfall, für den die Aufgabe ziemlich trivial ist. Das wurde jetzt aber auch schon mehrfach erwähnt.

Wie können wir jetzt benutzen, um zu zeigen? Als Hinweis, wende die Dreiecksungleichung an.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

gilt die Dreiecksgleichung auch für minus?

Also
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Also:

also ist

also muss sein.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du mir vielleicht noch sagen, wie man aus v + N = w + N auf kommt? Das war von mir eher so geraten verwirrt

Danke für die gute Hilfe
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von steviehawk
Also

Das ist falsch.

Zitat:
Original von steviehawk
Also:

also ist

also muss sein.

Die Rechnung zu Beginn ist richtig, aber ich verstehe Deine Folgerung am Ende nicht.

Zitat:
Original von steviehawk
Kannst du mir vielleicht noch sagen, wie man aus v + N = w + N auf kommt? Das war von mir eher so geraten verwirrt

Wie kann man noch umschreiben, wenn man an die zugrundeliegende Äquivalenzrelation denkt?

Um die Gleichheit zu zeigen, die wir am Ende haben wollen, würde es genügen und zu beweisen. Versuch das mal mittels der Dreiecksungleichung.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal:

da und die Dreiecksunlgleichung gilt.

Dann folgt:

dann folgt weiter:

Andersrum hab ich noch nicht!
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Begründung glaube ich nach wie vor nicht. Ich weiß nicht, wie Du genau gerechnet hast, aber es gilt .

Edit:
Für die Nachwelt: in Deinem ersten Posting ist mir noch ein kleiner Vertipper aufgefallen:
Zitat:
Original von steviehawk
iii)

Hier muss das Relationszeichen natürlich umgedreht werden.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

und wenn ich es so schreibe?



es folgt:

dann folgt doch:

kann ich jetzt nicht folgern, dass

und dann gilt?

und somit:

dass mit dem Zeichen ist mir selber bereits im 2ten Beitrag aufgefallen, da habe ich es schon geschrieben, aber wohl zu wenig darauf verwiesen...
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

?

Wir wissen (was Du allerdings noch zeigen musst). Wie schaffen wir es damit und mittels der Dreiecksungleichung, gegen abzuschätzen?
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

hab jetzt die Lust verloren...

Das kann noch Stunden dauern, ich versteh gerade garnichts mehr Hammer

Erst rech nicht was an meinem letzten Beweis falsch war! Trotzdem Danke!!!
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