Taylorpolynom Beweis / Begründung - Seite 2

04.06.2011, 03:51

tigerbine

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Nun mal numerische Werte ermitteln. wie gesagt, die Formeln kann ich zeitlich nicht nachrechnen.

04.06.2011, 03:51

Pascal95

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$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \ \ \ x_N\ = \end{eqnarray*}$
1. 546283987743746679695785448492890215724487282654896118648341149221186102150
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130857766826604709461767304310475058927994687776515161923484983095856488353
468244322370497473020451406631013528288233140880547121993362818535413938152
372766093418003982235203770862133915563598439021809282830515150465880255915
572551443522251110261627045455350161036706050456293847509156106256876740731
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402825683009377223166430311189633225256211085089531242080004691102100773481
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056112192518701511206368466685495319984330871294611389902792449291645336051
609255337375905335868202730248212860244087463744109744...

Ich habs graphisch überprüft!

Es passt!

04.06.2011, 03:51

tigerbine

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Man kann es mit Nachkommastellen auch übertreiben. LOL Hammer

LOL Hammer

04.06.2011, 03:56

Pascal95

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Haha, ja aber das ist das richtige Ergebnis smile

smile

Ich habe graphisch überprüft, dass es Nullstelle vom Taylorpolynom ist und es hat auch nur eine kleine Abweichung von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

Danke für deine Hilfe, ich geh jetzt schlafen.

04.06.2011, 04:00

tigerbine

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Gute Nacht. Würde es morgen noch mal linear machen. Wichtig ist [Für die Konvergenz !], dass man nahe bei der Nullstelle startet. Was nahes zu finden ist i.A. gar nicht so einfach. Wir nehmen hier den Plotter als Hilfe.

04.06.2011, 13:29

Pascal95

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Ok,

ich mache es mal linear.

$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R \to \mathbb R, \ x\mapsto \cos x-x+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f':\mathbb R \to \mathbb R, \ x\mapsto -\sin x-1 \end{eqnarray*}$

Man erkennt, dass die Nullstelle zwischen 1 und 1,5 liegt.

Linearisierung von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} T_{f,x_0,1}(x)\ := \ f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T_{f,1,1}(x)\ = \ f(1) + f'(1)(x-1)=\cos 1 + (-\sin 1 - 1)(x-1) =\cos 1 -\sin 1 \cdot x + \sin 1 -x + 1=\cos 1 -x( \sin 1 +1) + \sin 1 + 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_N\text{ ist Nullstelle von }T_{f,1,1} \quad \Leftrightarrow\quad T_{f,1,1}(x_N)=0 \quad \Leftrightarrow\quad \cos 1 -x_N( \sin 1 +1) + \sin 1 + 1=0 \quad \Leftrightarrow\quad \cos 1 + \sin 1 + 1=x_N( \sin 1 +1) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow\quad x_N\ =\ \frac{\cos 1 + \sin 1 + 1}{ \sin 1 +1}\ \approx\ 1.2934079930260233874047784339402900203831458827124892604512... \end{eqnarray*}$

Das trifft es verdammt gut!

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04.06.2011, 15:41

tigerbine

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Und man würde das nun ggf. weiter Iterieren => lokales Newtonverfahren.

04.06.2011, 17:13

Pascal95

Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du, dass man die NS von dem Taylorpolynom nimmt und dann die Nullstelle von f annähert (dazu braucht man nur noch die 1. Ableitung von f)

04.06.2011, 17:17

tigerbine

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Newton benutzt Taylor 1. Statt der Nullstelle von f bestimmt man die Nullstelle der Tangenten. Das ist dann eine Näherungslösung. Daher iteriert man. Das ganze klappt i.A. nur, wenn man nahe genug an der Nullstelle von f startet.

[WS] Eindimensionale Nullstellenprobleme 1 - versch. Verfahren
[WS] Eindimensionale Nullstellenprobleme 2 - Das Newton Verfahren

05.06.2011, 00:27

Pascal95

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Ok, danke sehr.

Taylor hat das eigentlich schon gut genug approximiert.
Habe es nun nochmal quadratisch gemacht und die Nullstelle 1,28176125 ist näher dran als die NS der Linearisierung.

Würde es sinnvoll sein, die Gleichung in ein Fixpunktproblem zu wandeln:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\cos x-x+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_N\text{ ist Nullstelle von }f \quad \Leftrightarrow\quad f(x_N)=0 \quad \Leftrightarrow\quad \cos x_N-x_N+1=0\quad \Leftrightarrow\quad \cos x_N+1=x_N \end{eqnarray*}$

So definiere ich:
$\begin{eqnarray*} g(x)=\cos(x)+1 \end{eqnarray*}$

und suche den Fixpunkt von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ .

Was hältst du davon?

05.06.2011, 00:48

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Mir geht es darum: Taylor liefert nur eine Näherung, deren Güte vom Startwert abhängt. Daher solltest du iterieren, um der Nullstelle beliebig nahe zu kommen.

Diese Iterationen sind auch Fixpunktprobleme, siehe Workshop.

Die Frage ist nun, wie willst du den Fixpunkt suchen? Da brauchen wir wieder eine Iterationsvorschrift.

Das interessante nach den "Ideen" ist die Konvergenztheorie.

05.06.2011, 01:07

Pascal95

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann könnte man ja Newton anwenden.
Dazu wähle ich als Startstelle $\begin{eqnarray*} x_0:=1 \end{eqnarray*}$ .

Die nächste Stelle erhalte ich durch $\begin{eqnarray*} x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} f(x)=\cos x-x+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=-\sin x-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_0=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1=1-\frac{\cos 1-1+1}{-\sin 1-1}=1-\frac{\cos 1}{-(\sin 1+1)}=1+\frac{\cos 1}{\sin 1+1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2=1+\frac{\cos 1}{\sin 1+1} - \frac{f\left( 1+\frac{\cos 1}{\sin 1+1} \right)}{f'\left( 1+\frac{\cos 1}{\sin 1+1} \right)} = 1+\frac{\cos 1}{\sin 1+1} - \frac{\cos \left( 1+\frac{\cos 1}{\sin 1+1} \right)-\left( 1+\frac{\cos 1}{\sin 1+1}\right)+1}{-\sin\left( 1+\frac{\cos 1}{\sin 1+1} \right)-1} = 1+\frac{\cos 1}{\sin 1+1} - \frac{\cos \left( 1+\frac{\cos 1}{\sin 1+1} \right)- \frac{\cos 1}{\sin 1+1}}{-\sin\left( 1+\frac{\cos 1}{\sin 1+1} \right)-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2\ \approx\ 1.283435773475181 \end{eqnarray*}$

Die Nullstelle von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist 1.28342874174576531679 laut Wolfram|Alpha.
Damit ist man dem so nahe wie ich vorher noch nie gekommen.

05.06.2011, 01:09

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

usw.

Augenzwinkern

05.06.2011, 01:10

Pascal95

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Näherung ist von jetzt die beste!

05.06.2011, 01:11

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

rofl. Das sollte ja auch so sein, wenn es konvergiert. Big Laugh

Big Laugh

05.06.2011, 01:12

Pascal95

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich habe sie mal dividiert: http://www.wolframalpha.com/input/?i=+1....283435773475181

05.06.2011, 01:13

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Also hast du die Idee nun verstanden, oder?

05.06.2011, 01:16

Pascal95

Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du, dass man mit der Newtoniteration sehr schnell die Nullstellen bestimmen kann und die Taylorreihenentwicklung nur eine Näherung ist?

Aber welche Einsatzgebiete hat dann die Taylorreihenentwicklung?

Und zur Fixpunktiteration würdest du mich sicher hierhin verweisen ([WS] Fixpunktiterationen)? Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.06.2011, 01:26

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Also nochmal. Taylor bestimmt ein approximierendes Polynom bestimmten Grades. Newton-Polynom ist linearer Spezialfall. Man muss beim Grad von Taylor aufpassen, da man ja eine Nullstelle eines Polynoms bestimmen muss. Nur bis Grad 4 gibt es Lösungsformeln.

Will man eine Nullstelle beliebig gut approximieren, so muss man iterieren. Bei der linearen Funktion heißt das dann Newtonverfahren.

Ob das Verfahren konvergiert, hängt von der Wahl des Startwertes ab. Ist man nahe dran, so konvergiert das Newton-Verfahren i.d.R. sehr schnell.

Zitat:

Aber welche Einsatzgebiete hat dann die Taylorreihenentwicklung?

Sehr viele. Big Laugh

Big Laugh

Z.B. versteckt in Beweisen, wenn wir uns eine Funktion handlicher durch sie machen. Polynome sind halt was schönes. Big Laugh

Big Laugh

05.06.2011, 01:32

Pascal95

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke dir.

Ist das dann der richtige Lesestoff?
[WS] Fixpunktiterationen
Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dazu hätte ich gleich eine Frage:

Zitat:

Ist der Fixpunkt x* anziehend oder abstoßend?

Was bedeutet das?

So suchte ich und wurde fündig:
(http://rene.rondot.de/facharbeit/facharbeit-Title.html)

Zitat:

Ein Fixpunkt x heiß Attraktor (anziehender Fixpunkt), wenn es eine Umgebung U´(x) gibt, so daß für alle y µ U´ gilt: Der Grenzwert des Orbits Oy ist x.
Ein Fixpunkt x heiß Repellor (abstoßender Fixpunkt), wenn es eine Umgebung U´(x) gibt, so daß für alle y µ U´ gilt: Der Grenzwert des Orbits Oy ist nicht aus U´(x).

Kannst du mir das einfach erklären?
Leider wurden diese Begriffe im WS nicht erklärt.

05.06.2011, 01:37

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Kurzum: anziehend: Die Iterationsfolge konvergiert gegen den Fixpunkt. Abstoßend, die Iterierten entfernen sich vom Fixpunkt.

05.06.2011, 01:45

Pascal95

Auf diesen Beitrag antworten »

Aha, das verstehe ich.

Man braucht natürlich, wie du auch schon vorhin gesagt hast, wieder eine Iterationsvorschrift.

Könnte das dann auch so aussehen?
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/7/7a/Fixpunkt.png
(aus http://de.wikipedia.org/wiki/Fixpunktiteration)

05.06.2011, 01:48

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ja nur das Protokoll einer Iteration. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wichtig ist für Fixpunktiterationen z.B.: Der Fixpunktsatz von Banach

05.06.2011, 02:08

Pascal95

Auf diesen Beitrag antworten »

Leider habe ich den Eindruck bekommen, dass "Der Fixpunktsatz von Banach" nicht für mich innerhalb weniger Tage vollständig verständlich sein wird.

Ich habe mir nun dieses Skript rausgesucht, dem ich nun versuche zu folgen.

Vielleicht hast du ja eine Idee, wo man eine anschauliche Erklärung erhält.
Den einleitenden Satz auf der Wikipedia Seite finde ich schon interessant:

Zitat:

Eine Veranschaulichung des Satzes liefert eine Landkarte, auf der die Umgebung, in der man sich befindet, abgebildet ist. Sieht man diese Karte als Kontraktion der Umgebung, so findet man genau einen Punkt auf der Karte, der mit dem direkt darunter liegenden Punkt in der realen Welt übereinstimmt.

Das kann ich sogar so garnicht fassen...
Ist damit denn gemeint, dass der Standort auf der Karte drauf sein muss(?)

05.06.2011, 02:16

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Das muss er doch auch nicht. Es war nur ein Hinweis. Vorab sollte man ein wenig Analysis lernen.

05.06.2011, 02:19

Pascal95

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann denke ich, dass sich eigentlich alles geklärt hätte.

Allerdings würde mich interessieren, ob es für dieses Problem (Nullstelle von cosx-x+1) sinnvoll ist, ein Fixpunkt zu betrachten.

05.06.2011, 02:21

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Sinnvoll bedeutet: Zeige, dass die Fixpunktiteration konvergiert. Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.06.2011, 02:23

Pascal95

Auf diesen Beitrag antworten »

Aha, dann könnte es ja höchstens eine Alternative zu Newton sein, denn dort hats ja konvergiert.

Und man könnte wohl auch eine Fixpunktiterationsvorschrift finden, die gegen den Fixpunkt (also anziehend) konvergiert.

05.06.2011, 02:34

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Siehe Workshop.

05.06.2011, 02:37

Pascal95

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich werde mich morgen nochmal mit dem Workshop beschäftigen.
Danke schon einmal für deine Hilfe Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.06.2011, 02:46

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte.

Wink

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