Taylorpolynom Beweis / Begründung

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Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »
Taylorpolynom Beweis / Begründung
Hallo,

kennt jemand einen Begründung dafür, warum das Taylorpolynom -ten Grades mit der Entwicklungsstelle zur Funktion , nämlich die Funktion so gut approximiert?

Oder wie ist Taylor darauf gekommen?

Vielen Dank.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylorpolynom Beweis / Begründung
Es ist ja i.A. nur lokal um x0 gut. Und in was stimmen f und T dort denn überein?
 
 
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Funktionswert ist bei von und identisch:
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nur der Funktionswert...?
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Auch die Ableitung?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Sag du es mir... Augenzwinkern
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich denke schon.

Das würde ich dann versuchen, zu zeigen

Allerdings ist bei mir gerade noch eine Unklarheit aufgetaucht...
Die erste Partialsumme (k=0) wäre ja
, weil und ist.

Aber was ist, wenn man jetzt für einfach einsetzt, dann wäre es ja , oder was soll denn sein?

Das ist aber widersprüchlich, denn man hat ja vereinfacht und gesagt , das darf man doch dann garnicht verwirrt
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »



Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Es gilt :
, denn die anderen Gleider der Summe verschwinden wegen .

Und dann gab es ja noch die Vermutung :
, aus dem selben Grund: die restlichen Glieder verschwinden.

Aber damit ist meine Unklarheit von vorhin noch nicht beseitigt.
Für k=0 sieht das Glied ja so aus:
, aber das gilt ja nur, wenn , denn sonst wäre der Term doch alles gleich 0 und nicht gleich verwirrt
(siehe dazu Post davor)
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Hoch 0 =1. Konvention.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ok, das glaub ich, aber was ist ?
ist das auch verwirrt

Wenn ja, dann wäre das Problem beseitigt.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Auch das ist 1.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, da hab ich mir es ja mal wieder selber schwer gemacht...

Zu dem anderen...
Sind meine Überlegungen richtig zum Funktionswert und zur Ableitung?




Danke schonmal Augenzwinkern
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Klar stimmen sie. Sonst hätte ich dich nicht so "gefragt".
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke.

Das zeigt also, dass sich die Funktionsgraphen und in der Umgebung sehr nahe kommen.

Was könnte man dazu noch sagen?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht nur "nahe". Die Idee ist in x0 die Funktion f "hinreichend glatt" [also Ableitungen stimmen auch überein] zu approximieren. Dabei ist T as Polynom eine sehr schöne Funktion: leicht abzuleiten und zu integrieren. Augenzwinkern
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke sehr.

Gibt es eigentlich eine Begründung dafür, dass man Fakultät mit hinein gebracht hat oder ist das so halt am geeignetesten?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Berechne mir doch mal die dritte Ableitung von unserem kleinen Taylorpolynom.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, wir hatten bisher die 1. Ableitung (hast du ja vorgerechnet):


Dann ist


und


Richtig ?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ist dir dabei nun aufgefallen, warum wir die Fakultät im Nenner brauchen?
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Exponent kommt nach vorne und aus wird , weil .

Meinst du das?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Schreib es doch mal, ohne zu kürzen. Augenzwinkern
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Und das um diese Uhrzeit...

Ich gehe von dieser Darstellung aus:








Edit: Das stimmt mit dem von vorhin, soweit ich das sehe, überein.
Hier erkennt man, dass sowas entsteht:
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Du brauchst die Fakultät, damit sich die Koeffizienten, die durch die Ableitungen der Potenzen entstehen, wegheben.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Aha, das konnte man im Beispiel ja auch sehen (auch wenn da die Fakultät noch nicht viel machen musste - zu kleine Werte).

Wenn man sich das Taylorpolynom 1. Grades zu einer Funktion an der Stelle berechnet, kommt das raus:
nennt man "Linearisierung von an der Stelle ".
Das habe ich von Wikipedia, Taylorreihe

Das ist doch auch die Funktionsgleichung für die Tangente am Punkt (?)
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

So sieht es aus. Denn eine Tangente ist eine polynomiale Funktion, die mit f an einer Stelle im Funktionwert und dem Wert der ersten Ableitung (Steigung) übereinstimmt.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke.

Ist es meistens sinnvoller, wenn man Nullstellen einer Funktion, z.B. sucht, die Entwicklungsstelle nahe der Nullstelle zu setzen, oder die Entwicklungsstelle gleich 0 zu setzen, weil man dann eine einfache Formel hat?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, wenn man mit Taylor arbeitet, dann läuft das ja auf ein iteratives 'Verfahren hinaus. Newton wäre ein Beispiel, man kann aber höhere Taylorpolynome nehmen. Man versucht nahe der Nullstelle zu starten, denn die Approximation von T an f ist ja nur lokal gut.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich möchte das mit Taylor lösen.

Welchen Grad für das Taylorpolynom würdest du hier denn benutzen?

Als Entwicklungsstelle würde ich wählen.

tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

1 oder 2. Bedenke, dass man auch für das Polynom auf Lösungsformeln zurückgreifen will. Theoretisch geht das nur bis 4 ohne Probleme. Praktisch ist mir 2 schon zu kompliziert zum selbst ausrechnen. Augenzwinkern
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann benutze ich den Grad 2 mit der Entwicklungsstelle 1:

.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Nun soll die Nullstelle gefunden werden:

.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Dann lös mal auf.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Nun soll die Nullstelle gefunden werden:




Ist das eine Idee?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Lösungsformeln für quadratische Gleichungen benutzen. Sinnvoll eine der Nullstellen auswählen.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme durch Termumformung auf

Edit: verrechnet!



Soll ich dazu auflösen?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, auflösen. Oder als Polynom in () betrachten und am Ende auflösen.

Du könntest es aber auch erst mal mit einem linearen Ansatz machen. Da bekommt man die Iterierten schneller. Big Laugh
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Habe jetzt umgeformt.

[attach]19933[/attach]

Lösungen werde ich gleich mitteilen.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du dann ja mal mittels Grafik vergleichen. Ich habe nun nicht die Zeit das nach zurechnen. Augenzwinkern

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynome.htm
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »



p-q-Formel:



Diskriminante:


Lösung(en):
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