Laplace-Gleichung

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El Rey Auf diesen Beitrag antworten »
Laplace-Gleichung
Meine Frage:
hallo liebes forum Augenzwinkern

ich sitze hier grad etwas überfordert an folgender aufgabe

aufg:

sei und man soll zeigen das folgende aussagen gelten:

a)
b)

Meine Ideen:
ich weis wie der laplaceoperator aussieht aber wie man das jez ausrechnet weis ich nich

kann mir da wer helfen ??
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Moin, El Rey,

ich halte die b) für einfacher. Beginne damit.

Schriit 1: Schreibe aus und denke an n = 2. Die Norm, die du hier nehmen solltest, ist die euklidische (2 - ) Norm.

Schritt 2: Bilde den Gradienten .

Schritt 3: Leite Eintrag 1 des Gradienten nach ab, Eintrag 2 nach .

Schritt 4: Zähle die Ergebnisse von Schritt 3 zusammen und stelle fest, dass 0 herauskommt.

a) läuft gleich, nur ist n dort beliebig. Die Schritte sind aber gleich, nur sind es dann n Einträge und nicht nur 2. Beim Bilden von solltest du an die Potenzgesetze denken.
El Rey Auf diesen Beitrag antworten »

okay ich versuchs mal
also




ich hoffe soweit is das richtig und jez soll ich die 1. komponente nach und die 2. nach ableiten ne



und jez noch die summe der komponenten



jez steh ich nur noch mit der ableitung aufem schlauch also der log abgeleitet is la 1/x mal x' aber wie leitet man die norm ab ??
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast jetzt ein wenig geschummelt. Augenzwinkern stimmt zwar, aber schreib das doch mal konret auf.

, was ist dann ? Das kannst du dann nach und ableiten. Dabei brauchst du zwei mal die (eindimensionale) Kettenregel.
El Rey Auf diesen Beitrag antworten »

oki ich versuchs mal

also man hat dann ja


und


so und dann noch das folgende



also die ableitungen :





und dann noch die summe



ich hoffe das is so richtig
El Rey Auf diesen Beitrag antworten »

bei der a)

is das da so gemeint ??

??
 
 
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Die b) ist richtig!

Was machst du bei Aufgabe a)? Mach das so wie bei der b), einfach Definition ausschreiben. Wurzelausdruck hoch 2-n und dann Potenzgesetz.
El Rey Auf diesen Beitrag antworten »

wie jez ?? kannste das mal aufschreiben wie du das meinst ??
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Die Definition von r kennst du:

. Dann jagen wir die Potenz drüber:

.

So, und jetzt musst du erst mal bestimmen. Also allgemein, von i abhängig. Das ist aber noch recht einfach.
El Rey Auf diesen Beitrag antworten »

oki ich versuchs mal



und das für jede komponente

aber wie soll man dazu die 2. ableitungen bestimmen ??
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Warum dann auf einmal durch den Wurzelausdruck nach dem Ableiten?

Das ist eine ganz normale Potenzregel, Potenz vorziehen, hoch alte Potenz - 1. Die innere Ableitung stimmt.

Zur zweiten Ableitung: Quotientenregel bzw. Produktregel ist hier das Stichwort.
El Rey Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab doch potenzregel gemacht oder nich

oder mach du mal bitte vor wie du das meinst
El Rey Auf diesen Beitrag antworten »

oki ich versuchs nochmal



aber dann steht der wurzel ausdruck auch im nenner
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Aber mit einem anderen Exponenten. Augenzwinkern Hinten muss die 2 vor dem x_1 weg, hast du ja gekürzt.

Lass es aber mal so stehen und leite das noch mal nach x_i ab (wenn statt des x_1 in deinen Ausführungen auch ein x_i steht). Mit der Produktregel (damit wir das gleiche vor uns liegen haben, bis jetzt hast du genau das, was ich habe).

Edit: Vermeide bitte übrigens, Doppelposts, du müsstest das eigentlich editieren können.
El Rey Auf diesen Beitrag antworten »

oki ich versuchs mal



und was hast du jez fürn exponenten ??
El Rey Auf diesen Beitrag antworten »

was hast du denn jez fürne 2. ableitung nach ??
oder interessanter wie hast du die berechnet ?? so dass die summe über i null wird ??
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt jetzt. Und der Exponent war auch richtig. Nur die 2 eben nicht. Korrekt ist das hier:



So, jetzt kannst du für die zweite Ableitung nach x_i das (2-n) als Faktor ganz vorne hinschreiben und dann mit Produktregel ableiten.
El Rey Auf diesen Beitrag antworten »

oki ich versuchs mal



dann mit der produktregel:



dann vereinfachen



ich hoffe mal das is richtig aber mir is immer noch nich klar wie die summe über i null ergibt

kannste mir das vllt noch erklärn ??
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Also, du scheinst auf Kriegsfuß mit den "einfachen" Ableitungsregeln zu stehen.

Also, das vorne stimmt.

Jetzt noch mal ganz langsam.

Ableitung nach .


Äußere mal innere. Und vergiss nicht die Klammern, oder du schreibst gleich . Das ist der neue Exponent nach dem Ableiten.
El Rey Auf diesen Beitrag antworten »

oki ich versuchs nochmal



is jez so richtig ??

aber wie soll so die summe über i null werden ??
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Hmmm ... entweder du passt nicht auf, oder du brauchst noch Nachhilfe in den gängigen Regeln.

Ich schreibe es dir mal richtig auf. Der Übersicht halber schreibe ich für .

.

Zusammen ergibt sich als zweite Ableitung



Schau noch mal drüber, weiter vereinfachen wir nicht. Das ist das, worauf du kommen solltest. Schritt für Schritt. Produktregel (u' * v + u * v') und Kettenregel sind wichtig.

Und das summieren wir nun von i = 1 bis n. Schreib das hinter ein Summenzeichen und ziehe auseinander und konstante Faktoren heraus. Ich mach mal den Anfang, damit du einen Anhaltspunkt hast.




So, und da kommt 0 heraus. Aber das musst du schon noch zeigen. Ist aber nicht schwierig, die Aufgabe ist fast fertig. Denk dran: Die Klammer hat mit der Laufvariable i nichts zu tun, sie ist konstant.
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