kürzester Abstand paraller Geraden

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TheGreatMM Auf diesen Beitrag antworten »
kürzester Abstand paraller Geraden
wie mache ich denn das am schnellsten?

die Lsg. die ich gefunden habe, verstehe ich zwar, dauern mir aber z.T. zu lange... wie ist euer Weg dafür?
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

Beliebigen Punkt einer Geraden auswählen, Ebene mit Richtungsvektor einber Geraden als Normalvektor aufstellen.
mit der Anderen Geraden zum Schnitt bringen.

fertig
Primzahl Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lazarus
Beliebigen Punkt einer Geraden auswählen, Ebene mit Richtungsvektor einber Geraden als Normalvektor aufstellen.
mit der Anderen Geraden zum Schnitt bringen.

fertig


dazu braucht man aber auch das LGS.

ich würde einfach den gemeinsamen Normalenvektor der beiden Geraden mit hilfe der Richtungvektoren bestimmen.
dann machst du die Ebenengleichung in Normalform. Abstand mit Hessescher Normalform ausrechnen, indem du die Ortsvektoren der Geraden einsetzt.
TheGreatMM Auf diesen Beitrag antworten »

hi jo danke nach vielen rumprobieren mit verschiedenen Rechnungswegen, bestimm ich jetzt auch eine orthogonale Ebene zu den Richtungsvektoren und bringe sie zum Schnitt mit den Geraden...
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Eine eher weniger bekannte, aber einfache Formel zur Berechnung des Abstandes d zweier paralleler Geraden (A, und B, ) lautet:



Sie resultiert aus der Anwendung der geometrischen Definition des Kreuzproduktes.

mY+
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Primzahl
ich würde einfach den gemeinsamen Normalenvektor der beiden Geraden mit hilfe der Richtungvektoren bestimmen.
dann machst du die Ebenengleichung in Normalform. Abstand mit Hessescher Normalform ausrechnen, indem du die Ortsvektoren der Geraden einsetzt.


Hm, das verstehe ich nicht. Willst du die Ebene erstellen, die die Richtungsvektoren der Geraden als Normalenvektor haben? Das ist problemlos möglich und führt auf den Weg, den TheGreatMM zuletzt beschrieben hat.

Oder willst du die Ebene erstellen, in der beide Geraden drinliegen? Wenn ja, dann kriegst du den Normalenvektor nicht über die beiden Richtungsvektoren, da diese linear abhängig sind. Das Kreuzprodukt ist also null.

Und was willst du mit der Hesseschen Normalform und dem Ortsvektor (meinst du damit den Stützvektor?) der Geraden machen?
 
 
TheGreatMM Auf diesen Beitrag antworten »

Naja ich denke Primzahl wollte die Ebene (wie ich auch) durch die beiden Geraden erstellen, sodass die Gerade jeweils orth. darauf stehen, also RV der Geraden von
ergibt z.B.:
wobei ich das b dann so wähle, dass ich möglichst passende Zahlen bekomme...
Primzahl Auf diesen Beitrag antworten »

naja vielleicht hab ich mich ein bisschen unklar ausgedrückt, aber ich meinte halt, dass man einen Normalvektor sucht, der orthogonal zu beiden Richtungsvektoren der Geraden ist. Anschlißend erstellt man eine Ebene in Normalenform mit Hilfe des Normalenvektors und eines der Stützvektoren der Geraden.
Daraus bildet man die Hessesche Normaleform:



Anschließend setzt man in den fehlenden Punkt den anderen Stützvektor der Geraden ein.

Ich frage mich gerade, ob man nicht einfach die Länge des Normalenvektors, der beiden Geraden ausrechnen kann. Das ist doch eigentlich praktisch der Abstand der beiden Geraden oder?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Bei Geraden im Raum wirst du dir etwas schwer tun, denn auf sie gibt es unendlich viele Normalvektoren. Da musst du schon die Normalebene auf die Geraden bemühen.

Desgleichen kannst du nicht einfach DEN Normalvektor auf die Richtungsvektoren der beiden parallelen Geraden bestimmen, denn wenn du dies mit dem Kreuzprodukt versuchst, wirst du (klarerweise)den Nullvektor erhalten.

Mit der Beziehung



funktioniert dies jedoch ganz einfach. Seien z.B die beiden Geraden









[Falsches Ergebnis nachträglich editiert]

mY+
TheGreatMM Auf diesen Beitrag antworten »

smile
Zitat:
Original von mYthos
Bei Geraden im Raum wirst du dir etwas schwer tun, denn auf sie gibt es unendlich viele Normalvektoren. Da musst du schon die Normalebene auf die Geraden bemühen.

Primzahls Rechnung geht aber auch, da er aus den beiden RV das Vektorprodukt bilden, und das diese dann für die HNF nimmt...

Danke noch für deinen Rechnungsweg smile
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von TheGreatMM
...
Primzahls Rechnung geht aber auch, da er aus den beiden RV das Vektorprodukt bilden, und das diese dann für die HNF nimmt...
...


Das könnt ihr mir mal vorführen, wenn ihr das Vektorprodukt aus zwei parallelen Vektoren bildet, das geht zwar wunderbar, aber was dann dabei rauskommt?

Und die HNF von WEM denn bitte? Von einer Geraden im Raum? Wie sieht diese aus?


Ratlos verwirrt
mY+
Primzahl Auf diesen Beitrag antworten »

erstmal hab ich nie gesagt das ich das vektorprodukt aus zwei parallelen vektoren bestimmen will, sondern den gemeinsamen normalenvektor der beiden richtungsvektoren.
naja ein beispiel: und seien jeweil die richtungsvektoren der beiden parallelen geraden.

sei der normalenvektor.

dann gilt




wenn man das skalarprodukt gebildet hat erhält man ein überbestimmtes lösungssystem und setzt beispielsweise

ist an der vorgehensweise irgendwo ein fehler?
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Primzahl
ist an der vorgehensweise irgendwo ein fehler?


Ja, denn und sind linear abhängig. Deshalb kriegst du ein Gleichungssystem, in dem du gleich 2 Größen frei wählen kannst. Damit unterscheiden sich die "Normalenvektoren" nicht nur in der Länge, sondern auch noch in der Richtung.

Oder anders gesagt: du erhälst keine eindeutige Richtung.

Du könntest höchstens eine Ebene bilden, indem du einen Vektor suchst, der auf dem Richtungsvektor der einen Geraden, sowie dem Verbindungsvektor der beiden Stützpunkte der Geraden senkrecht steht.

Wie du dann allerdings auf den Abstand der Geraden kommen willst, ist mir nach wie vor nicht klar. IMHO geht das mit der Ebene immer noch nicht.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Calvin
...
Du könntest höchstens eine Ebene bilden, indem du einen Vektor suchst, der auf dem Richtungsvektor der einen Geraden, sowie dem Verbindungsvektor der beiden Stützpunkte der Geraden senkrecht steht.

Wie du dann allerdings auf den Abstand der Geraden kommen willst, ist mir nach wie vor nicht klar. IMHO geht das mit der Ebene immer noch nicht.


Wenn du so vorgehst, wie gerade beschrieben, dann ist man wohl auf dem richtigen Weg. Denn der Betrag des ermittelten Normalvektors hängt mit dem Sinus des Winkels der beiden anderen Vektoren zusammen und das ergibt in der weiteren Folge - wenn der Richtungsvektor der Geraden normiert wird - eben diesen gesuchten Abstand.

mY+
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, das verstehe ich nicht. verwirrt

Am Besten, ich probiere es mal an deinem obigen Beispiel aus.

Zitat:
Original von mYthos





Ich bilde als einen Vektor, der senkrecht auf und steht.



Weiter sagt Wikipedia, dass , wobei ein Einheitsvektor ist, der (in diesem Fall) in Richtung zeigt.

Aber wie ist jetzt der Zusammenhang zum Abstand der beiden Geraden?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ok,

nun ist der Betrag von gleich dem Flächeninhalt des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogrammes (gebildet aus dem Richtungsvektor der Geraden und AB)

und wegen



ist nun



Dieser Weg führt im Endeffekt auf die früher von mir angegebene Formel.

Hmmhh, jetzt muss ich nur noch nachsehen, warum ich am Vormittag 5 erhalten habe (...), ahh, ich weiss schon, habe aus Versehen im Zähler das skalare Produkt gebildet. Teufel Das passiert mir, dem Gefeierten!

Werd's natürlich korrigieren.

mY+
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Aha, mit Skizze ist das bei mir auch klarer geworden. Aber der Normalenvektor der Ebene, den ich vorhin ausgerechnet habe, ist da doch nicht notwendig?!? Den Winkel des Parallelograms kann man sich über das Skalarprodukt bestimmen und dann kann man mit dem Sinus den Abstand ausrechnen. Ganz nach meinem Geschmack Augenzwinkern
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