invertierbare Elemente Z_p

04.06.2011, 16:32	LAgirly	Auf diesen Beitrag antworten »
invertierbare Elemente Z_p Meine Frage: Seien m $\begin{eqnarray} \in \mathbb N_0 \end{eqnarray}$ und n $\begin{eqnarray} \in \mathbb N \end{eqnarray}$ . Sei p $\begin{eqnarray} \in \mathbb N \end{eqnarray}$ eine Primzahl. Die Menge $\begin{eqnarray} \mathbb Z_p \end{eqnarray}$ = {0, ..., p-1} wird mit der Addition x+y:=(x+y) mod p und der Multiplikation xy:=(xy) mod p zum Körper, wobei auf der rechten Seite die übliche Addition bzw. Multiplikation in $\begin{eqnarray} \mathbb N_0 \end{eqnarray}$ gemeint ist. 1. Bestimmen Sie für p=2,3,5 die Inversen aller invertierbaren Elemente von $\begin{eqnarray} \mathbb Z_p \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Hallo zusammen, ich versuche jetzt schon seit Tagen diese Aufgabe zu lösen, aber direkt beim ersten Aufgabenteil hakt es bei mir... Ich muss zugeben, dass ich keine wirkliche Idee habe, an diese Aufgabe ranzugehen, dabei denke ich, dass sie gar nicht so schwer ist, wenn man einmal einen Ansatz hat... Ich muss also dreimal die Inversen aller invertierbaren Elemente bestimmt. $\begin{eqnarray} \mathbb Z_2 \end{eqnarray}$ = {0,1} $\begin{eqnarray} \mathbb Z_3 \end{eqnarray}$ = {0,1,2} $\begin{eqnarray} \mathbb Z_5 \end{eqnarray}$ = {0,1,2,3,4} Doch wie komm ich nun zunächst auf die invertierbaren Elemente und stelle dann eine Inverse auf? Also die Inverse wär doch beispielsweise wenn 2 ein invertierbares Element wäre -2, oder? Würde mich sehr über Anregungen, Hilfe, Tipps sehr freuen! Danke schonmal!
04.06.2011, 16:44	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: invertierbare Elemente Z_p Du hast den Begriff des Inversen hier wohl noch nicht verstanden. Normalerweise ist das multiplikativ Inverse. In IR beispielsweise, denn dann hat man ja x(1/x)=1. Hier bei diesen modulo-Rechnungen musst du dich von dieser Anschauung etwas lösen - zunächst! Welche Elemente überhaupt invertierbar sind, ist von vornherein schon klar, $\begin{eqnarray} \mathbb Z_p \end{eqnarray}$ ist für p Primzahl ein Körper, also sind logischerweise alle Elemente ungleich 0 auch invertierbar (nach Definition eines Körpers). Nun finde halt die Inversen. Ich gebe dir mal ein Beispiel in $\begin{eqnarray} \mathbb Z_5 \end{eqnarray}$ . Es ist $\begin{eqnarray} 2 \cdot 3 = 6 \equiv 1 \mod 5 \end{eqnarray}$ Also ist die 3 das multiplikativ Inverse der 2 (und umgekehrt), denn hier gilt eben 23=1.
04.06.2011, 18:22	LAgirly	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal vielen Dank für die Erklärung. Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, dann sind die invertierbaren Elemente in $\begin{eqnarray} \mathbb Z_5 \end{eqnarray}$ die 1,2,3,4. Die Inversen zu 2 und 3 hast du ja bereits als Beispiel angegeben. Ich hätte gesagt das Inverse zu 1 ist 1 und das Inverse zu 4 ist 4, da 44=16 = 1 mod 5 Ist das so richtig? Analog dann für $\begin{eqnarray} \mathbb Z_2 \end{eqnarray}$ das inverse Element 1 und das dazugehörige Inverse 1 und für $\begin{eqnarray} \mathbb Z_3 \end{eqnarray}$ die inversen Elemente 1 und 2 mit 1 als Inverse zu 1 und 2 als Inverse zu 2, da 22=4=1 mod 3 ?
04.06.2011, 18:23	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig.
04.06.2011, 18:30	Cosinuspihalbe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: invertierbare Elemente Z_p in der aufgabe wird aber auch die addition definiert. also ich würde die additiv und multiplikativ inversen bestimmen.
04.06.2011, 18:37	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: invertierbare Elemente Z_p Hmm... finde ich recht unspektakulär, das additiv inverse von x ist immer -x. Aber gut meinetwegen kann man halt auch noch -x mod p umschreiben und angeben.
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04.06.2011, 18:47	LAgirly	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke ihr beiden, werd die additiven Inversen einfach noch dazu angeben, sicher ist sicher Im Nachhinein wärs sonst ärgerlich wenns dafür Punktabzug gäbe Die Aufgabe geht nun weiter und zwar: Betrachten wir nun das lineare Gleichungssystem bx - 3y + (a-1)z = 5 20x + 10y + 30 z = 10 (a+2)x + 5y + 7z = 20 Für welche $\begin{eqnarray} a \in \mathbb Q, b\in \mathbb N_0 \end{eqnarray}$ hat das System keine /genau eine /mehrere aber endlich viele / unendlich viele Lösungen in $\begin{eqnarray} \mathbb Q^3 \end{eqnarray}$ ? Bestimmen Sie alle Lösungen. Ich habe das Gleichungssystem nun auch gelöst und komme dabei für x,y und z auf eher unschöne Brüche mit den zwei Variablen a und b. Habe sie auch alle auf einen Nenner gebracht, in dem steht nun a²+8(b-2). Man kann ja schonmal sagen, dass es keine Lösung gibt, wenn der Nenner 0 wird, da die Division durch Null ja nicht erlaubt ist. Aber wie kann ich genaue Lösungen bestimmen bzw. angeben wann es die versch. Anzahl an Lösungen gibt? EDIT: $\begin{eqnarray} x= \frac{15a+184}{a^2 + 8(b-2)} \wedge y= \frac{a^2 -54a +53b+78}{a^2 + 8(b-2)} \wedge \frac{8a-15b-154}{a^2 + 8(b-2)} \end{eqnarray*}$
04.06.2011, 19:35	Cosinuspihalbe	Auf diesen Beitrag antworten »
nur drauf achten, dass mit modulo das additiv inverse bissel anders aussieht. beispiel mit p=5. das additiv inverse zu 2 wäre dann 3 und nicht -2.

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