Abstände zweier windschiefer Geraden |
| 04.06.2011, 22:40 | retsam | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Abstände zweier windschiefer Geraden ich habe eine Frage zu der Vorgehensweise. Man hat zwei Geradengleichungen in Paramaterform zweier windschiefer Geraden gegeben und man soll den minimalen vertikalen und horizontalen Abstand dieser beiden Geraden bestimmen. - Man bestimmt die Lotfußpunkte beider Geraden. - Um den horizontalen Abstand zu bestimmen, legt man eine Ebene durch einen Lotfußpunkt und berechnet den Schnittpunkt mit der zweiten Geraden. Die Ebene ist parallel zu der x-y-Ebene. - Um den vertikalen Abstand zu bestimmen, legt man eine Ebene durch einen Lotfußpunkt und berechnet den Schnittpunkt mit der zweiten Geraden. Die Ebene ist parallel zu der x-z-Ebene. - Der Betrag des Differenzvektors aus Schnittpunkt und Lotfußpunkt ist der Abstand. Könntet ihr das kontrollieren? _______________________________________ Ich habe zunächst die Möglichkeit in Erwägung gezogen, mit dem Lotfußpunkt-Verfahren die Lotfußpunkte zu bestimmen. Anschließend zerlege ich das Lot in eine vertikale und horizontale Ebene und bestimme jeweils ihre Längen. Jedoch stellen die beiden Komponenten keine Abstände zwischen den beiden Geraden dar, da die Endpunkte der Kompontenen nicht auf beiden Geraden liegen. |
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| 04.06.2011, 23:05 | Gualtiero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Abstände zweier windschiefer Geraden Ich werde aus Deinen Ideen nicht schlau. Offensichtlich lotest Du den Punkt eines Stützvektors auf die andere Gerade ab. Das hat aber noch nichts mit dem Minimalabstand zu tun, den Du suchst. Hast Du schon nach Threads mit dem gleichen Problem gesucht? Schau einmal hier rein. |
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| 04.06.2011, 23:14 | retsam | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Abstände zweier windschiefer Geraden Ich möchte nicht den kürzesten Abstand zweier windschiefer Geraden bestimmen. Beispiel: Man hat zwei Geradengleichungen zweier Flugzeugbahnen gegeben. Die Geraden sind windschief. Die Flugzeuge müssen einen vertikalen Mindestabstand von x Metern und einen horizontalen Mindestabstand von y Metern haben. x und y sind gegeben. Man soll berechnen, ob die Flugzeuge diese Abstände einhalten werden. Dazu muss ich den horizontalen und den vertikalen Abstand der beiden Geraden bestimmen. |
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| 04.06.2011, 23:30 | Gualtiero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Abstände zweier windschiefer Geraden Ah, jetzt verstehe ich. Aber die Ebenen kannst Du nicht irgendwo einsetzen. Um z. B. den Vertikalabstand zu bestimmen, musst Du erst die Punkte auf beiden Geraden bestimmen, die wirklich vertikal untereinander liegen. Ich denke, Du musst dazu die Geraden in die x/y-Ebene projizieren, da den Schnittpunkt bestimmen, und in diesen Schnittpunkt eine vertikale Gerade einsetzen und mit den ursprünglichen Geraden wieder schneiden. |
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| 04.06.2011, 23:38 | retsam | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Abstände zweier windschiefer Geraden Ich kann doch in einen Lotfußtpunkt eine Ebene legen, die parallel zu der x-y-Ebene ist. Dann kann ich den horizontalen Abstan bestimmen, in dem ich den Schnittpunkt der Ebene mit der zweiten Gerade bestimme. Dann den Differenzenvektor aus Lotfußpunkt und Schnittpunkte und daraus den Betrag bestimme. |
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| 04.06.2011, 23:41 | retsam | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Abstände zweier windschiefer Geraden
Der Schnittpunkt der Ebene und der zweiten Gerade liegt dann vertikal zu der ersten Gerade, denn die Ebene ist vertikal. __________________________________ Ich habe zwei Geradengleichungen. Ich bestimme die Lotfußpunkte. An einem Lotfußpunkt lege ich eine Ebene, die vertikal liegt, parallel zu der x-z-Ebene. Dann bereche ich den Schnittpunkt der Ebene mit der zweiten Geraden. Der Schnittpunkt liegt dann vertikal zu dem Lotfußpunkt auf der ersten Geraden. Der Betrag des Differenzenvektors gibt den Abstand an. |
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| 04.06.2011, 23:48 | retsam | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Abstände zweier windschiefer Geraden Ich nehme die Lotfußpunkte, da dort die Geraden übereinander liegen. Es gibt keine anderen Stellen, wo beide Geraden übereinander liegen. |
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| 04.06.2011, 23:57 | Gualtiero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Abstände zweier windschiefer Geraden Ich würde L1 und L2 nicht als Lotfußpunkte bezeichnen, das ist irreführend. Ein Lotfußpunkt entsteht, indem ein Punkt orthogonal auf eine Ebene oder Gerade projiziert wird. Diese beiden Punkte entstehen aber als Schnitt mit einer lotrechten Gerade oder Ebene. Aber besser als darüber theoretisch zu reden wäre ein praktisches Beispiel. Hast Du keines? |
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| 05.06.2011, 00:41 | retsam | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein. Hast du meine Erklärung oben angeguckt? |
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| 05.06.2011, 09:20 | Gualtiero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sicher habe ich Deine Beiträge gelesen. Mir ist nur bisher so eine Fragestellung in Zusammenhang mit windschiefen Geraden noch nicht untergekommen. Also wenn man den vertikalen Abstand und den waagrechten Abstand bei windschiefen Geraden so sehen kann, wie Du x und y beschrieben hast, sind Deine Überlegungen richtig. Du hast nur nicht erklärt, wie Du zu L1 und L2 kommst. Wie ich sie berechnen würde, habe ich ja gesagt. Aber was ist dann die eigentliche Frage; oder ist sie damit schon beantwortet? Vielleicht finde oder konstruiere ich ein einfaches Beispiel dazu. |
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| 05.06.2011, 15:43 | retsam | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zwei Flugzeuge, die sich geradlinig bewegen, werden vom Tower eines Flughafens aus gelotst. Bezüglich eines Koordinatesystems, dessen Ursprung im Tower liegt, sind die Flugbahnen der Flugzeuge gegeben durch g: h: Der Flugslotse muss eingreifen, wenn der Abstand in der Vertikalen kleiner als 330 m oder in der Horizontalen kleiner als 9260 m ist. Ist das bei diesen Flugbahnen erforderlich? Wie man an den Richtungsvektoren erkennt, ändern die Flugzeuge ihre Höhe nicht. Man kann in diesem Fall nur den vertikalen Abstand mit dem Lotfußpunkt-Verfahren oder mit folgender Formel bestimmen. d (g, h) = X steht für Vektorprodukt x1 und x2 Ortsvektoren r1 und r2 Richtungsvektoren Man kann den Abstand auch mit den z-Komponenten der Ortsvektoren der Geradengleichungen bestimmen 8 - 7,5 = 0,5 km = 500 m > 330 m _________________ Nehme den gleichen Fall wie bei den Flugzeugen. Die Geradengleichungen sind nun anders und die Flugzeuge ändern ihre Höhe. Man soll auch hier den vertikalen und den horizontalen Abstand bestimmen. Dann muss man doch vorgehen, wie ich oben beschrieben habe. - Die beiden Punkte finden, die die Endpunkte des Lotes zwischen den beiden Geraden sind. Das macht man mit dem Lotfußpunkt-Verfahren. - Horizontale Ebene durch einen Punkt legen und Schnittpunkt mit der zweiten Geraden berechnen. Betrag des Differenzenvektors aus Punkt und Schnittpunkt ist der horizontale Abstand. - Vertikale Ebene durch einen Punkt legen und Schnittpunkt mit der zweiten Geraden berechnen. Betrag des Differenzenvektors aus Punkt und Schnittpunkt ist der vertikale Abstand. |
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| 05.06.2011, 16:31 | Gualtiero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gut, die Geradengleichungen für den jeweiligen Kurs der beiden Flugzeuge sind klar. Der kleinstmögliche Vertikalabstand kann hier ohne viel Rechnerei bestimmt werden, er ergibt sich aus der Differenz der z-Werte der beiden Stützvektoren. Hast Du ja auch richtig gemacht. In der Formel für den Minimalabstand von windschiefen Geraden sollte der Nenner, wenn ich mich nicht irre, so aussehen: |r1 X r2| * |x2 - x1| 
An diesem Beispiel kannst Du Deinen Rechenansatz nicht anwenden, weil ja die Flugbahnen in zur xy-Ebene parallelen Ebenen verlaufen. Dann versuche es mit diesen zwei Flugbahnen bzw. Geraden. Gerade g geht durch A (7 2 3) und B (15 22 11) Gerade h geht durch C (2 1 2) und D (16 13 12) Zu beachten ist, dass die beiden waagrechten Abstände - einmal vom unteren und einmal vom oberen Punkt aus berechnet - verschieden sind. |
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| 05.06.2011, 17:43 | retsam | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du musst durch | r1 X r2| teilen, denn man rechnet mit dem Normaleneinheitsvektor. Der Normaleneinheitsvektor ist der Normalenvektor geteilt durch den Betrag des Normaleneinheitsvektors. |
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| 05.06.2011, 20:30 | Gualtiero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, hast Recht, ich war vom Skalarprodukt ausgegangen und habe nicht ganz fertig umgestellt. 
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