lineare Abbildung

05.06.2011, 18:03

Henry0815

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lineare Abbildung

Hallo ihr Lieben,

ich hänge mal wieder an einer Aufgabe. Vielleicht könnt ihr mir ein paar Tipps geben? Einen Teil habe ich bereits gelöst.

Folgende Aufgabe:
Zeigen Sie: Die Abbildung $\begin{eqnarray*} F: \mathbb R^{3} \Rightarrow \mathbb R , (x,y,z)\Rightarrow 2x-3y+4z \end{eqnarray*}$ ist linear.

Um Linearität zu zeigen, müssen wir Additivität und Homogenität zeigen.

Die Homogenität habe ich bereits gezeigt. ich hoffe, dass das auch richtig ist:

Z.z.
$\begin{eqnarray*} f(\lambda \vec{u})=\lambda f(\vec{u}) \end{eqnarray*}$

Setze $\begin{eqnarray*} \vec{u} =(x,y,z) \end{eqnarray*}$

dann gilt:

$\begin{eqnarray*} f(\lambda \vec{u})=f(\lambda (2x-3y+4z))=(2\lambda x-3\lambda y+4\lambda z)=\lambda (2x-3y+4z)=\lambda f(\vec{u}) \end{eqnarray*}$

ist das richtig so?

Jetzt zur Additivität:
Z.z.
$\begin{eqnarray*} f(\vec{u} +\vec{v})=f(\vec{v}) +f(\vec{v})<br /> \end{eqnarray*}$

Soweit so gut. Aber was nehme ich jetzt als $\begin{eqnarray*} \vec{u} \end{eqnarray*}$ und was als $\begin{eqnarray*} \vec{v} \end{eqnarray*}$ ? Das ist mir nicht ganz schlüssig. eins von beiden muss ja dann mein 2x-3y+4z sein. Aber was ist dann der andere Vektor?

wäre schön, wenn ihr mir helfen könntet.

LG

05.06.2011, 18:05

tigerbine

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RE: lineare Abbildung
Beide haben so eine Gestalt. Nenne die Koordinaten eben $\begin{eqnarray*} x_u \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x_v \end{eqnarray*}$

05.06.2011, 18:09

Henry0815

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RE: lineare Abbildung
Rechne ich dann mit $\begin{eqnarray*} \vec{u} = 2x_{u} -3y_{u} +4z_{u} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{v} = 2x_{v} -3y_{v} +4z_{v} \end{eqnarray*}$ ?

05.06.2011, 18:13

tigerbine

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RE: lineare Abbildung
Ja.

05.06.2011, 18:39

Henry0815

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RE: lineare Abbildung
hmm, also ich bin soweit, dass ich hier stehen habe:
$\begin{eqnarray*} <br /> f(( 2x_{u} -3y_{u} +4z_{u})+( 2x_{v} -3y_{v} +4z_{v}))=f(2x_{u}+2x_{v}-3y_{u}-3y_{v}+4z_{u}+4z_{v}) \end{eqnarray*}$ aber hier hänge ich jetzt. wie mache ich weiter. kann ich weitermachen, indem ich einfach schreibe:

$\begin{eqnarray*} f(2x_{u}-3y_{u}+4z_{u})+f(2x_{v}-3y_{v}+4z_{v})=f(2x_{u}+2x_{v}-3y_{u}-3y_{v}+4z_{u}+4z_{v}) \end{eqnarray*}$

und sage, dass die Ergebnisse gleich sind, oder wie macht man das am einfachsten?

Über einen Tipp würde ich mich sehr freuen

05.06.2011, 18:42

tigerbine

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RE: lineare Abbildung
Nein, nein...

$\begin{eqnarray*} f(\vec{u} +\vec{v})=f(\vec{v}) +f(\vec{v})<br /> \end{eqnarray*}$

Frage1: Wie sehen v und u, bzw. u+v aus? Dann kommt erst die Abbildung f.

$\begin{eqnarray*} f(u)=2x_u-3y_u+4z_u \end{eqnarray*}$

Das ist bei dir hier generell schief gelaufen.

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05.06.2011, 19:01

Henry0815

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RE: lineare Abbildung
und wenn ich sage:

$\begin{eqnarray*} <br /> f(\vec{u}+\vec{v})=f((2x_{u}-3y_{u} +4z_{u})+(2x_{v}-3y_{v}+4z_{v}))=k_{0}(2x_{u}-3y_{u} +4z_{u})+k_{0}(2x_{v}-3y_{v}+4z_{v})=f(\vec{u})+f(\vec{v})<br /> \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} k_{0} \in K \end{eqnarray*}$

kommt das hin?

05.06.2011, 19:03

tigerbine

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RE: lineare Abbildung
Nein, denn schon nach dem ersten "=" steht wieder was falsches da.

05.06.2011, 19:04

Henry0815

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RE: lineare Abbildung
grml.... also nochmal neu überlegen

05.06.2011, 19:08

tigerbine

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RE: lineare Abbildung
Ja, primitiver denken.

$\begin{eqnarray*} f(u)=2x_u-3y_u+4z_u \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(v)=2x_v-3y_v+4z_v \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(u+v)=2(x_u+x_v)-3(y_u+y_v)+4(z_u+z_v) \end{eqnarray*}$

05.06.2011, 19:56

Henry0815

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RE: lineare Abbildung
Danke für den Tipp, ich habe gemerkt, dass ich nicht in "Spalten" gedacht habe.

Bitte, lieber Gott, ich hoffe, dass es diesmal einigermaßen korrekt ist, also folgendes hab ich mir diesmal überlegt:

$\begin{eqnarray*} <br /> f(\vec{u})=2x_{u}-3y_{u}+4z_{u}<br /> f(\vec{v})=2x_{v}-3y_{v}+4z_{v}<br /> <br /> <br /> f(\vec{u}+\vec{v})= \begin{pmatrix} x_u+x_v \\ y_u+y_v \\ z_u+z_v \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2(x_u+x_v) \\-3( y_u+y_v) \\4 (z_u+z_v) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 x_u+2x_v \\ -3y_u-3y_v \\ 4z_u+4z_v \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2x_u \\-3 y_u \\4 z_u \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2x_v \\-3y_v \\4z_v \end{pmatrix} =f(\vec{u})+f(\vec{v})<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

kommt es diesmal hin? oder habe ich immernoch einen denkfehler drin? *hoff*

05.06.2011, 20:02

tigerbine

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RE: lineare Abbildung
Nein, es ist wieder falsch. Anderes Beispiel, damit du hoffentlich den Fehler endlich erkennst:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x+y)=(x+y)^2 \end{eqnarray*}$

Du schreibst aber immer

$\begin{eqnarray*} f(x+y)=f((x+y)^2) \end{eqnarray*}$

05.06.2011, 20:04

Cosinuspihalbe

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RE: lineare Abbildung
bingo, vor die erste klammer gehört noch ein f, da du die abbildung erst nach dem zweiten "=" anwendest, aber du hast es.

edit: args, biene hat recht, hab nicht gesehen, dass du von R^3 auf R abbildest.
schreib es nach anwendung der abbildung nciht als vektor, sondern als summe.
kannst dann analog umformen und kommst aufs gleiche. nur richtig halt Big Laugh

Big Laugh

05.06.2011, 20:06

tigerbine

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RE: lineare Abbildung
Nein, das stimmt nicht, halber Winkel. Das Bild ist eindimensional, $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^3 \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Hier steht es wieder als Vektor.

$\begin{eqnarray*} f(u+v)=2(x_u+x_v)-3(y_u+y_v)+4(z_u+z_v) \end{eqnarray*}$

Ich hatte es doch schon hingeschrieben, wie es auszusehen hat.

Die Frage ist doch nur noch, ob das auch f(u)+f(v) ist.

05.06.2011, 20:10

Henry0815

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RE: lineare Abbildung
es kann doch nicht sein, dass ich den fehler nicht sehe?! dabei war ich so überzeugt von meiner letzten lösung. die sah so gut aus -_-
das beispiel mit ² versteh ich nicht wirklich. wobei mach ich denn genau einen fehler?

05.06.2011, 20:12

tigerbine

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RE: lineare Abbildung
So, zurück auf 0. Für $\begin{eqnarray*} u,v \in \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ist:

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^3 \to \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(u)=2x_u-3y_u+4z_u \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(v)=2x_v-3y_v+4z_v \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(u+v)=2(x_u+x_v)-3(y_u+y_v)+4(z_u+z_v) \end{eqnarray*}$

Ist das klar? Was ist unklar?

05.06.2011, 20:14

Henry0815

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RE: lineare Abbildung
okee, dann guck ich nochmal

05.06.2011, 20:16

Henry0815

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RE: lineare Abbildung

Zitat:

Original von tigerbine
So, zurück auf 0. Für $\begin{eqnarray*} u,v \in \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ist:

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^3 \to \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(u)=2x_u-3y_u+4z_u \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(v)=2x_v-3y_v+4z_v \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(u+v)=2(x_u+x_v)-3(y_u+y_v)+4(z_u+z_v) \end{eqnarray*}$

Ist das klar? Was ist unklar?

das ist klar

05.06.2011, 20:19

tigerbine

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RE: lineare Abbildung
Dann addiere bitte f(u)+f(v). Was kommt da raus?

Dann geht es weiter.

05.06.2011, 20:37

Henry0815

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RE: lineare Abbildung
meiner meinung nach würde da rauskommen:

$\begin{eqnarray*} (2x_{u}-3x_{u}+4z_{u})+(2x_{v}-3x_{v}+4z_{v}) \end{eqnarray*}$ das ist doch $\begin{eqnarray*} f(u)+f(v) \end{eqnarray*}$ ?? oder muss da jeweils noch ein $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ vor?

das würde ich dann umformen nach:
$\begin{eqnarray*} <br /> (2x_{u}+2x_{v}-3y_{u}-3y_{v}+4z_{u}+4z_{v}) \end{eqnarray*}$ oder liegt hier ein denkfehler vor? Aber wie dann?

05.06.2011, 20:40

Henry0815

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RE: lineare Abbildung
und das wäre dann $\begin{eqnarray*} 2(x_{u}+x_{v})-3(y_{u}+y_{v})+4(z_{u}+z_{v}) \end{eqnarray*}$
quasi das, was du schon geschrieben hattest

05.06.2011, 20:43

Cosinuspihalbe

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RE: lineare Abbildung
wende f(u+v) an, multipliziere aus. stelle um. fasse neu zu f(u)+f(v) zusammen, fertig.

05.06.2011, 20:47

Henry0815

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RE: lineare Abbildung

Zitat:

Original von Cosinuspihalbe
wende f(u+v) an, multipliziere aus. stelle um. fasse neu zu f(u)+f(v) zusammen, fertig.

ich sag jetzt mal vorsichtig:

bei beiden steht dann $\begin{eqnarray*} 2(x_{u}+x_{v})-3(y_{u}+y_{v})+4(z_{u}+z_{v}) \end{eqnarray*}$ und kann damit also sagen, dass das eine das andere ergibt?

05.06.2011, 20:58

Cosinuspihalbe

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RE: lineare Abbildung
ja, oder du machst gleich eine gleichungskette mit umforumungen daraus (oder besser ein gleichungstürmchen, liest sich besser bzw ist für den korreteur überichtlicher), wo du f(u+v)
=...
=...
=...
=f(u)+f(v)
erhälst und somit die additivität gezeigt hast.

05.06.2011, 21:11

Henry0815

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RE: lineare Abbildung
dann werde ich das so machen smile

smile

vielen lieben dank für eure hilfe smile

smile

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