Vektorraum der stetigen Funktionen hat überabzählbare Basis

05.06.2011, 18:05	CPBach	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorraum der stetigen Funktionen hat überabzählbare Basis Meine Frage: Hallo, meine Frage lautet: Wie beweise ich, dass der Vektorraum der stetigen Funktionen keine abzählbare Basis besitzt? Meine Ideen: Wäre dieser Vektorraum ein Banach-Raum wäre die Antwort klar. Dann wäre nach dem Satz von Baire die Basis überabzählbar. MfG,Stefan
05.06.2011, 22:22	akechi90	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo CPBach, Von wo nach wo gehen deine stetigen Funktionen? Falls sie von R nach R gehen, hast du deine Frage bereits beantwortet - dann bilden die beschränkten stetigen Funktionen nämlich einen R-Unterraum, der sich leicht als Banachraum auffassen lässt. Liebe Grüße, Carsten
05.06.2011, 22:32	CPBach	Auf diesen Beitrag antworten »
Dankeschön! Super Idee Ja, es soll von R nach R gehen. Welche Norm würde das dann induzieren? Gruß Stefan
05.06.2011, 22:53	akechi90	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Maximumsnorm
05.06.2011, 23:33	CPBach	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, so ganz ist mir das noch nicht klar: Wenn ich von R nach R gehe dann bilde ich doch keine beschränkten Funktionen?? Wenn ich beschränkte stetige Funktionen will, dann muss mein Definitionsraum doch kompakt sein, also in diesem Fall wohl ein Intervall? Und die Supremums(Maximums)-norm funktioniert doch nur wenn meine Funktion beschränkt ist... Oder ich habe das mit dem R-Unterraum nicht verstanden... Trotzdem vielen Dank!
06.06.2011, 00:16	akechi90	Auf diesen Beitrag antworten »
Na ja, die beschränkten Funktionen bilden aber einen Unterraum. Und für den Unterraum lässt sich unschwer zeigen, dass die Dimension überabzählbar ist (denn die beschränkten Funktionen mit Maximumsnorm bilden einen Banachraum, der, wie du weißt, überabzählbare Dimension besitzt). Da die Dimension eines Oberraums aber nie kleiner ist als die eines Unterraums, muss auch die Dimension des Raums des stetigen Funktionen überabzählbar sein. Alternativ, wenn du nicht auf Banachräume zurückgreifen willst: finde überabzählbar viele Funktionen, die linear unabhängig sind (Tipp: a^x).
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06.06.2011, 00:22	CPBach	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber ganz allgemein kann ich doch auch bei der Menge aller unbeschränkten, stetigen Funktionen von R nach R auf eine Norm zurückgreifen, die unendlich als Wert annehmen kann...(bspw. die Operatornorm). Und damit dann meinen Banachraum erzeugen ? Oder macht das dann wenig Sinn oder ist unvernünftig?
06.06.2011, 01:58	akechi90	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist insofern unvernünftig, dass der Trick mit dem Satz von Baire nur auf Banachräume anwendbar ist.

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