Eigenwerte

05.06.2011, 18:25

MatheKind

Eigenwerte

Hallo,
hier eine Aufgabe mit Lösung, die ich nicht ganz nachvollziehen kann:

Rotationen

$\begin{eqnarray*} c = cos \phi \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} s = sin \phi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} c & -s \\ s & c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} det \begin{pmatrix} c - \lambda & -s \\ s & c - \lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =(c- \lambda )^2 + s^2 = c^2 - 2c \lambda + \lambda ^2 + s^2 = \lambda ^2 - 2c \lambda + 1 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_{1,2} = c \pm \sqrt{c^2 -1} \in \mathbb R \Leftrightarrow c^2 = 1 \Leftrightarrow \phi = k * 180^{°}, k \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda = -1 \end{eqnarray*}$ , alle anderen Vektoren des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 = \left\{ 0 \right\} \end{eqnarray*}$ sind Eigenvektoren.

$\begin{eqnarray*} \phi = 180^{°} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Spiegelung am Ursprung.

Mich würde nun interessieren, wie man auf $\begin{eqnarray*} \lambda = -1 \end{eqnarray*}$ und die Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ kommt.

Ergibt $\begin{eqnarray*} c - 1 \end{eqnarray*}$ etwa $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ ?

Und was ist damit gemeint?

"alle anderen Vektoren des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 = \left\{ 0 \right\} \end{eqnarray*}$ sind Eigenvektoren."

Danke im Voraus!
MatheKind

05.06.2011, 18:42

Elvis

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Die Rechnung ist offenbar richtig wegen sin²+cos²=1.
Dann musst du nur noch $\begin{eqnarray*} \phi=0,\lambda=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi=180°,\lambda=-1 \end{eqnarray*}$ unterscheiden.
Für jeden Vektor gilt $\begin{eqnarray*} Ax=\lambda x \end{eqnarray*}$ . Den Nullvektor würde ich dabei als trivialen Eigenvektor betrachten, sonst gäbe es keine Eigenräume.

06.06.2011, 12:37

MatheKind

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Mir ist leider immernoch nicht klar, wie man von $\begin{eqnarray*} \lambda_{1,2} = c \pm \sqrt{c^2 -1} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} c^2 = 1 \end{eqnarray*}$ kommt. Die letztgenannte Matrix ist mir auch schleierhaft. Wenn man in der Matrix $\begin{eqnarray*} det \begin{pmatrix} c - \lambda & -s \\ s & c - \lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ -1 einsetzt, dann komme ich auf $\begin{eqnarray*} det \begin{pmatrix} c + 1 & -s \\ s & c +1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von ElvisDann musst du nur noch $\begin{eqnarray*} \phi=0,\lambda=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi=180°,\lambda=-1 \end{eqnarray*}$ unterscheiden.

Wie meinst du das, man müsse diese unterscheiden?

Liebe Grüße
MatheKind

06.06.2011, 13:32

MatheKind

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Eine weiterer Sachverhalt, der mir nicht vollständig klar ist:

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & \hdots & 1 \\ 0 & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \in \mathbb R ^{n,n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P_A (\lambda) = \begin{vmatrix} 1 - \lambda & \hdots & 1 \\ 0 & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 1 - \lambda \end{vmatrix} = (1- \lambda )^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} {\lambda}_1 = 1 \end{eqnarray*}$ ist einziger Eigenwert (mit der algebraischen Vielfachheit n)

$\begin{eqnarray*} E_{\lambda _1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & \hdots & 1 \\ \vdots & \ddots & 1 & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & \hdots & \hdots & 0<br /> \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_{n-1} \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1*x_n = 0 \Rightarrow x_n = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{n-1} + x_n = 0 \Rightarrow x_{n-1} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{n-2} + x_{n-1} + x_n = 0 \Rightarrow x_{n-2} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2 + x_3 + ... + x_n = 0 \Rightarrow x_{2} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = \mu \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_{\lambda _1} = \left\{\mu e^{(1)} | \mu \in \mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$

Mir ist nicht klar, weshalb $\begin{eqnarray*} x_1 = 1 \end{eqnarray*}$ ist, schließlich wurde es doch gleich in der ersten Spalte und der ersten Zeile mit $\begin{eqnarray*} 1 - 1 = 0 \end{eqnarray*}$ subtrahiert!

Wie kommt man also auf das Ergebnis?

Danke im Voraus!
MatheKind

06.06.2011, 14:02

Ehos

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Für die Eigernwerte erhält man formal

$\begin{eqnarray*} \lambda_{1;2}=\cos(\phi)\pm\sqrt{cos^2(\phi)-1}=\cos(\phi)\pm i \cdot \sin(\phi)=e^{\pm i\phi} \end{eqnarray*}$

Für "echte" physikalische Drehspiegelungen müssen die Eigenwerte reell sein, also $\begin{eqnarray*} \sin(\phi)=0 \end{eqnarray*}$ . Also kommen nur 2 Fälle in Frage

Fall 1 ("Nulldrehung"): $\begin{eqnarray*} \phi=0° \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \lambda_1=1 \end{eqnarray*}$
Fall 2 (Spiegelung): $\begin{eqnarray*} \phi=180° \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \lambda_2=-1 \end{eqnarray*}$

Um die Eigenvektoren zu bekommen, setzt man diese Eigenwerte wie immer in die Eigenwertgleichung ein und erhält ein homogenes Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \cos(\phi)-\lambda & -\sin(\phi) \\ \sin(\phi) & \cos(\phi)-\lambda \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Für beide Fälle 1 und 2 erhält man dasselbe homogene Gleichungssystem:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Also sind jeweils alle Vektoren $\begin{eqnarray*} (x_1|x_2) \end{eqnarray*}$ Lösungen und damit Eigenvektoren beider Fälle. Anschaulich ist das klar, denn wenn um $\begin{eqnarray*} \phi=0° \end{eqnarray*}$ gedreht wird, bleiben alle Vektoren erhalten. Die Drehung ist also die Einheitsmatrix E, welche man erhält, wenn man in die Drehmatrix setzt $\begin{eqnarray*} \phi=0° \end{eqnarray*}$ . Wenn im Falle 2 um 180° gedreht wird, ist das eine Spiegelung, so dass die Drehung der negativen Einheitsmatrix -E entspricht. Diese erhält man wenn man in der Drehmatrix setzt $\begin{eqnarray*} \phi=180° \end{eqnarray*}$ . Letzreres war u.a. deine Frage.

06.06.2011, 15:35

MatheKind

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Zitat:

Original von Ehos
Für die Eigernwerte erhält man formal

$\begin{eqnarray*} \lambda_{1;2}=\cos(\phi)\pm\sqrt{cos^2(\phi)-1}=\cos(\phi)\pm i \cdot \sin(\phi)=e^{\pm i\phi} \end{eqnarray*}$

Für "echte" physikalische Drehspiegelungen müssen die Eigenwerte reell sein, also $\begin{eqnarray*} \sin(\phi)=0 \end{eqnarray*}$ .

Wie kommst du von cos auf sin und wieso ist der Funktionswert automatisch 0?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Die Matrix sieht aber anders aus, als die, die ich gepostet habe. :-(

Vielleicht kannst du mir bei dem anderen Fall helfen, wo $\begin{eqnarray*} x_1 = 1 \end{eqnarray*}$ sein soll.

Liebe Grüße
MatheKind

06.06.2011, 16:00

Ehos

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@Mathekind
Frage 1: Wie komme ich von Kosinus zum Sinus?

Bekanntlich ist
$\begin{eqnarray*} \cos^2(\phi)+\sin^2(\phi)=1 \end{eqnarray*}$
Also ist
$\begin{eqnarray*} \sqrt{cos^2(\phi)-1}=\sqrt{-(sin^2(\phi)}=i\cdot \sin(\phi) \end{eqnarray*}$ .

Frage 2: Wie komme ich auf $\begin{eqnarray*} \phi=0° \end{eqnarray*}$
Wenn $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ nicht Null wäre, dann wäre der Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda=\cos(\phi)+i\cdot \sin(\phi) \end{eqnarray*}$ komplex. Dann wären auch die Eigenvektoren komplex. Das darf nicht sein, denn wir sind im euklidischen Raum.

06.06.2011, 16:23

MatheKind

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Dann ignorierst du einfach das c?

$\begin{eqnarray*} \lambda_{1,2} = c \pm 0 \end{eqnarray*}$

06.06.2011, 18:23

Elvis

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$\begin{eqnarray*} c<1\Rightarrow c^2<1\Rightarrow c^2-1<0 \Rightarrow \sqrt{c^2-1}\notin \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Deshalb bleiben für $\begin{eqnarray*} c=cos\phi \end{eqnarray*}$ nur die reellen Möglichkeiten $\begin{eqnarray*} c^2=1 \end{eqnarray*}$ .

07.06.2011, 17:00

MatheKind

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Hmm, ich komme mir wirklich vor, als ob ich hier dumme Fragen stelle, aber wieso ist zuerst c² < 1 und dann plötzlich c² = 1 ?!

Danke im Voraus!
MatheKind

07.06.2011, 17:16

Math1986

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Zitat:

Original von MatheKind
Hmm, ich komme mir wirklich vor, als ob ich hier dumme Fragen stelle, aber wieso ist zuerst c² < 1 und dann plötzlich c² = 1 ?!

Weil der Term
$\begin{eqnarray*} \sqrt{c^2-1}\notin \mathbb R \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} c^2<1 \end{eqnarray*}$ im Reellen nicht definiert ist.

So wie ich es sehe hat Elvis hier einen Widerspruchsbeweis gewählt.

07.06.2011, 19:01

MatheKind

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OK, das ist mir nun klarer, danke. :-)

Kann mir evtl. jemand auch bei der anderen Aufgabe helfen, wo der Einheitsvektor $\begin{eqnarray*} e^{(1)} \end{eqnarray*}$ rauskommt?

Liebe Grüße
MatheKind

08.06.2011, 14:05

Auli

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Zitat:

Original von MatheKind
OK, das ist mir nun klarer, danke. :-)

Kann mir evtl. jemand auch bei der anderen Aufgabe helfen, wo der Einheitsvektor $\begin{eqnarray*} e^{(1)} \end{eqnarray*}$ rauskommt?

Liebe Grüße
MatheKind

Du hast für alle $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ eine Bedingung. Die lautet, was ja relativ leicht ersichtlich ist, dass alle gleich 0 sein müssen.
Für $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ hast du keine Bedingung, somit ist diese Komponente beliebig wählbar, du könntest auch den vektor $\begin{eqnarray*} (27, ..., x_{n}) \end{eqnarray*}$ wählen, da du aber sowieso die Lineare Hülle dieses Vektors nimmst nimmt man der Einfachheit halber den Einheitsvektor.
Leicht veranschaulichen kannst du dir es auch indem du dir überlegst was du überhaupt berechnest.
Du berechnest den Kern einer Matrix, also alle Vektoren, die auf die Null abgebildet werden, wenn du jetzt eine Multiplikation machst mit einer beliebigen ersten Komponente, kommt immer der Nullvektor raus.
Übrigens: Ein leichtes Mittel für die Berechnung des Kerns ist der sog "-1 Ergänzungstrick", der zwar nicht so Mathematisch schön ist, aber funktioniert.

10.06.2011, 22:23

MatheKind

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Jetzt wird mir einiges klarer, danke!!! smile

Liebe Grüße
MatheKind

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