Supremumsnorm

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05.06.2011, 19:52	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Supremumsnorm Meine Frage: Hallo, ich soll zeigen, dass die Supremusnorm auf $\begin{eqnarray} C([a,b]) \end{eqnarray}$ nicht durch einem Skalarprodukt induziert wird. Hierzu würde ich doch am einfachsten Zeigen, dass die Parallelogrammidentität nicht gilt! Oder? Aber erstmal hatte ich noch kein Analysis und daher tue ich mir schon schwer zu verstehen, was der $\begin{eqnarray} C([a,b]) \end{eqnarray}$ genau ist. Meine Ideen: Zum Supremum weiß ich: Eine Teilmenge M ist nach oben beschränkt (sonst wäre das Supremum unendlich), wenn eine Schranke b existiert, so dass gitl: $\begin{eqnarray} x \leq b, \forall x \in M \end{eqnarray}$ Dann wird also bei der Supremumsnorm: $\begin{eqnarray} \|\|f\|\|: V \to K; f \to sup (f(x)) \end{eqnarray}$ die Funktion auf ihre Maximum agebildet... Wenn ich jetzt aber sage, dass b = sup(fx) und c=sup(f(x)) gilt, dann folgt doch die Parallelogrammidentität, denn: $\begin{eqnarray} \|\|f+g\|\|^2 + \|\|f-g\|\|^2 = [(sup(f(x)) + sup(g(x)))^2] + [(sup(f(x)) - sup(g(x)))^2] =<br /> <br /> (b + c)^2 + (b-c)^2 = b^2 +2bc + c^2 + b^2 -2bc + c^2 = 2b^2 + 2c^2 = ... = 2\|\|f\|\|^2 + 2\|\|g\|\|^2 \end{eqnarray}$ Kann mir jemand sagen was ich da falsch mache?? Danke für die Hilfe!!!
06.06.2011, 10:49	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Supremumsnorm Kann sich das einer mal anschauen???
06.06.2011, 16:53	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Supremumsnorm Vielleicht weiß heute Nachmittag einer weiter???
06.06.2011, 17:13	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Supremumsnorm Hallo stevie, Zuerst mal: Bitte höre auf andauernd Deine Threads zu pushen. Das ist unhöflich, denn Deine Fragen sind nicht wichtiger als die der anderen. Zudem ist es hier im MB auch überaus kontraproduktiv, denn spätestens ab Deinem dritten Beitrag ist es für niemanden mehr in der Forenübersicht erkennbar, dass noch kein Helfer geantwortet hat. Normalerweise ist die Reihenfolge nämlich Fragender->Helfer->Fragender... Ich schaue in solche Threads nämlich nicht mehr rein, wenn auch genug anderes liegengeblieben ist und habe jetzt nur reingeschaut, weil ich Deinen Thread eh noch bearbeiten wollte. Zudem war das Thema noch auf der ersten Seite der Forenansicht. Es gibt also überhaupt keinen Grund, es noch weiter nach oben zu holen. Zur Aufgabe: $\begin{eqnarray} C([a,b]) \end{eqnarray}$ ist der Vektorraum aller stetigen Funktionen vom Intervall $\begin{eqnarray} [a,b] \end{eqnarray}$ in die reellen Zahlen. Also so was wie $\begin{eqnarray} \sin(x),x^4,... \end{eqnarray}$ Wenn die 0 nicht in $\begin{eqnarray} [a,b] \end{eqnarray}$ liegt, ist sogar $\begin{eqnarray} 1/x \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} C([a,b]) \end{eqnarray}$ . Die Supremumsnorm ist immer das Maximum der Funktionswerte auf diesem Intervall. Ist zum Beispiel $\begin{eqnarray} a=-1,b=2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(x)=x^2 \end{eqnarray}$ , so ist $\begin{eqnarray} \\|f\\|=4 \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} a=0,b=100 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(x)=\sin(x) \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \\|f\\|=1 \end{eqnarray}$ Du solltest Dir zuerst klarmachen, dass im allgemeinen $\begin{eqnarray} \sup_{x\in[a,b]} f(x)+\sup_{x\in[a,b]} g(x)\neq \sup_{x\in[a,b]}(f(x)+g(x)) \end{eqnarray}$ ist. Dann wirst Du auch sehen, was an Deiner bisherigen Argumentation falsch war. Gruß, Reksilat.
06.06.2011, 18:07	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Supremumsnorm Super vielen Danke für die Tipps!! das mit dem pushen der Threads werde ich in Zukunft lasse, ist nur so dass ich halt nicht mehr so lange Zeit hab für die Aufgabe! Ich mach mir mal Gedanken zur Aufgabe mit den Tipps dann melde ich mich wieder!
06.06.2011, 19:15	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Supremumsnorm Okay ich seh jetzt was im ersten Ansatz falsch war, ist die folgende Ungleichheit: $\begin{eqnarray} \sup_{x\in[a,b]} f(x)+\sup_{x\in[a,b]} g(x)\neq \sup_{x\in[a,b]}(f(x)+g(x)) \end{eqnarray}$ ist. Durch die ja dann auch die Parllelogrammidentität nicht folgen kann, dann schon der Schlüssel zum Erfolg? Also kann ich dann aus der nicht geltenden Parallelogrammidentiät folgern, dass die Norm nicht durch ein Skalarprodukt induziert wurde??
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07.06.2011, 10:05	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Supremumsnorm Ja, wenn die Parallelogrammgleichung nicht gilt, kann die Norm nicht induziert sein. Du musst jetzt also nur noch passende Beispielfunktionen finden, für die $\begin{eqnarray} \\|f+g\\|^2+\\|f-g\\|^2\neq 2\\|f\\|^2+2\\|g\\|^2 \end{eqnarray}$ gilt.
07.06.2011, 14:53	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Supremumsnorm okay also: $\begin{eqnarray} f(x) = sin(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g(x) = x + 2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a=0; b=100 \end{eqnarray}$ so dann ist: $\begin{eqnarray} sup f(x) + sup g(x) \neq sup (f(x) + g(x)) \end{eqnarray}$ denn: $\begin{eqnarray} sup f(x) + sup g(x) = 1 + 102 = 103 \end{eqnarray}$ so nun kann aber $\begin{eqnarray} sup ( f(x) + g(x) ) \end{eqnarray}$ in diesem Intervall maximal $\begin{eqnarray} 101,49 \end{eqnarray}$ werden und daher gilt: $\begin{eqnarray} sup f(x) + sup g(x) \neq sup (f(x) + g(x)) \end{eqnarray}$ und daher kann dann später auch die Parallelogrammidentiät nicht stimmen, (was man dann natürlich noch zeigen muss) und dann wird die Norm nicht von einem Skalarprodukt induziert! Passen die Funktionen oder habe ich mich verrechnet?
07.06.2011, 15:08	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Supremumsnorm Die Funktionen passen soweit und Du wirst damit auch am Ende rausbekommen, dass die Parallelogrammgleichung nicht gilt. Ein etwas übersichtlicheres Beispiel würden die Hütchenfunktionen liefern. Die sind fast überall Null. An einem Punkt x steigen sie dann linear an, bis sie beim Wert x+1 Ihr Maximum (z.B. 1) erreichen und dann wieder linear fallen, bis sie ab x+2 wieder konstant Null sind. Das aber nur als Ergänzung. Gruß, Reksilat.

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